反比例函数知识点总结知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xk y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xk y =（0k ≠），②1kxy -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）；⑸函数xk y =（0k ≠）与yk x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y的反比例函数。
（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xk y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xk y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xk y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质★关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小，就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。
如xk y =在第一、第三象限，则可知0k >。
★反比例函数xk y =（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。
如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足， 则OEPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k ☆ 反比例函数xk y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线xk y =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xk y =越靠近坐标原点。
☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x 。
经典例题透析类型一： 反比例函数的概念 （一）反比例函数的定义【例题】1、下列函数中是反比例函数的有 （填序号）()()()()()()()()())0(10;29;1)8(;87;216;235;2114;23;1312;3122≠==-===-=-=-=+=-=k k xk y xy x y xy xy xy x y xy x y x y为常数，2、在函数21+=x y 中，自变量x 的取值范围是（二）反比例函数的意义【例题】1、k 为何值时,23)2(k xk y --=是反比例函数。
2.已知函数3422+-+=m m xm y )(（1）m 是何值时，它是反比例函数？（2）它的图像位于哪些象限？y 值怎样随x 的变化而变化？3、反比例函数y ＝21039n n x--的图象每一象限内，y 随x 的增大而增大，则n ＝_______．（三） “成反比例”的含义【例题】1.已知y 与x-1成反比例，并且x ＝-2时y ＝7，求：(1)求y 和x 之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y 的值(3)y ＝-2时，x 的值。
【练习】1.已知y=y 1+y 2，y 1是关于1+x 的正比例函数，y 2是关于1+x 的反比例函数；当0=x 时，5-=y ,当2=x 时，7-=y ；（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当5=x 时，求y 的值。
类型二：确定反比例函数的解析式【例题】当自变量取值为—1时，函数值为2，求反比例函数的关系式。
【练习】1、已知变量y 与x 成反比例，并且当x=3时，y=7.求y 与x 之间的函数关系式；2、函数xk y =的图像经过点)2,1(-A ，则k 的值为 。
3、如图，P 是反比例函数图象上的一点，且点P 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，求这个反比例函数的解析式．类型三：反比例函数的图像及性质【例题】1.已知反比例函数xm y 2=的图像过点（-3，-12），且双曲线xm y =位于第二、四象限，求m的值。
2、已知反比例函数xk y 2-=的图像位于第一、三象限，则k 的取值范围是 。
3.如下左图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_________．【练习】1、当a 取何值时，函数2--=a axy 为反比例函数，且其图像同一支上的点的纵坐标随横坐标的增大而增大，写出此时的函数关系式，它的图像在哪个象限。
2．如上右图，若点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ．类型四：同一坐标系画一次函数与反比例函数图像【例题】1、如图，函数k）2．已知关于x 的函数y=k （x+1）和y=-k x（k ≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（• ）．【练习】1函数k y =的图象经过（1，)1-，则函数2-=kxy 的图象是（ ）2、在同一坐标系中，函数x ky =和3+=kx y 的图像大致是（ ）类型五：比较函数值或自变量的大小【例题】1.在反比例函数x y 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ） A ．213y y y >> B ．123y y y >>C ．321y y y >> D ．231y y y >>2. 若点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）都是反比例函数xy 1-=的图象上的点，并且x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列各式中正确的是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 3＜y 1C 、y 3＜y 2＜y 1D 、y 1＜y 3 ＜y 2 【练习】1.已知点A （-3，y 1），B （-2，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数y=4x的图象上，则（ ）．A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 32．已知双曲线x ky =经过点（－1，3），如果A (11,b a )，B (22,b a )在该双曲线上，且1a ＜2a ＜0，那么1b 2b3点A （a,b ）、B （a －1，c ）均在函数xy 1=的图象上，若a ＜0，则ｂ与ｃ的大小关系是（ ）A 、ａ＞ｃB 、ｂ＜ｃC 、ｂ＝ｃD 、ｂ和ｃ的大小关系不能确定 4、已知反比例函数)0(<=k xk y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，21x x <，则21y y -的值是（ ）（A ）正数（B ）负数（C ）非正数（D ）不能确定5、设有反比例函数xk y 1+=，（x 1，y 1）、（x 2，y 2）为其图象上两点，若x 1＜0＜x 2，y 1＞y 2，则k 的取值范围 。
类型六：反比例函数与一次函数的综合问题【例题】1．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数my x =的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。
求上述反比例函数和一次函数的表达式；2. 如图所示，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（－2，1），点B 的坐标为（12，m ）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．【练习】1．如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=m x的图象交于A 、B 两点．（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．2.如图，已知点A （4，m ），B （-1，n ）在反比例函数y=8x的图象上，直线AB•分别与x 轴，y 轴相交于C 、D 两点，（1）求直线AB 的解析式．（2）C 、D 两点坐标． （3）S △AOC ：S △BOD 是多少？3．关于x 的一次函数y=-2x+m 和反比例函数y=1n x的图象都经过点A （-2，1）.求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B 的坐标；（3）△AOB 的面积．类型七：反比例函数与实际问题【例题】1．在压力不变的情况下，某物体承受的压强p(Pa) 是它的受力面积S(m2)的反比例函数，其图像如图所示。
(1)求p与S之间的函数关系式；(2)求当S=0.5m2时,物体承受的压强p。
2.某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米／秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如右图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？（3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F在什么范围内？【练习】1．某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？（3）写出t与Q的关系式．（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？2.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.（1）请写出y关于x的函数关系式；（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？。