反比例函数知识点总结 李苗
知识点1 反比例函数的定义
一般地,形如x k y =(k 为常数,0k ≠)的函数称为反比
例函数,它可以从以下几个方面来理解:
⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数;
⑵自变量x 的取值范围是0x
≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠;
⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分;
⑷反比例函数有三种表达式:
①x k y =(0k ≠),
②1kx y -=(0k ≠),
③k y x =⋅(定值)(0k ≠); ⑸函数x k y =(0k ≠)与y k x =(0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。
(k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,
x k y =,就不是反比例函数了,由于反比例函数x
k y =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数x k y =(0k ≠)中,只有一个待定系
数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分
别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点:
①列表时选取的数值宜对称选取;
②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;
③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用
光滑的曲线连接,切忌画成折线;
④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐
标轴相交。
知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数
值的增减情况,如下表: 反比例
函数
x k y =(0k ≠) k 的
符号 0k >
0k < 图像
性质 ①
x 的取值范围是0x ≠,y 的取值范围是①x 的取值范围是0x ≠,y 的取值范围是0y ≠
②当0k <时,函数图像
注意:描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内……”否则,笼统地说,当0k >时,y 随x 的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k 的符号决定的,反过来,由反比例函数图像(双曲线)的位置和
函数的增减性,也可以推断出k 的符号。
如x k y =在第一、第三
象限,则可知0k >。
☆反比例函数x k y =(0k ≠)中比例系数k 的绝对值k 的几何
意义。
如图所示,过双曲线上任一点P (x ,y )分别作x 轴、y 轴的垂线,E 、F 分别为垂足,
则
OEPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k
☆ 反比例函数x k y =(0k ≠)中,k 越大,双曲线x
k y =越远离坐标原点;k 越小,双曲线x k y =越靠近坐标原点。
☆ 双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点;双曲线又是
轴对称图形,对称轴是直线y=x 和直线y=-x 。
0y ≠
②当0k >时,函数图像的两个分
支分别在第一、
第三象限,在每
个象限内,y 随x
的增大而减小。
的两个分支分别在第二、第四象限,在每个象限内,y 随x 的增大而增大。
☆ 经典例题透析
类型一 反比例函数的概念
☆ 1.判断下列各式是否表示y 是x 的反比例函数,若
是,指出比例系数k 的值;若不是,指出是什么函数.
(1)8;y x =- (2)1;9xy = (3)43;y x =- (4)1;7y x =-
(5)2=x y ; (6) x y 76-=;(7)x k y =(k 为常数,k 0≠)
☆ 2. 根据题意列出函数关系式,并判断是什么函数.
☆ (1)面积为常数m 的长方形的长y 与宽x 之间的关系; ☆
☆ (2)一本500页的书,每天看15页,x 天后尚未看完
的页数y 与天数x 之间的关系.
☆
专题2 反比例函数图象的位置与系数的关系
☆ 【专题解读】 反比例函数k y x =的图象是由两个分支组
成的双曲线,图象的位置与比例系数k 的关系有如下两种情况:
☆ (1)
0k >⇔双曲线的两个分支在第一、三象限⇔在第一象限内,y 随x 的增大而减小.
☆ (2)0k <⇔双曲线的两个分支在第二、四象限⇔在第一象限内,y 随x 的增大而增大.
☆ 3. 函数y ax a =-+与(0)a y a x
-=≠在同一坐标系中的图象可能是( )
专题3 反函数的图象
☆ 【专题解读】 如左下图所示,若点A (x ,y )为反比例
函数k y x =图象上的任意一点,过A 作AB ⊥x 轴于B ,作
AC ⊥y 轴于C ,则S △AOB =S △AOC =12S 矩形ABOC =1||2
k . ☆
☆ 4. 如右上图所示,点P 是x 轴正半轴上的一个动点,
过P 作x 轴的垂线交双曲线1y x =于点Q ,连接OQ ,当
点P 沿x 轴正方向运动时,Rt △QOP 的面积( )
A .逐渐增大
B .逐渐减小
C .保持不变
D .无法确定 ☆ 5.在反比例函数x y 1-=的图像上有三点(1x ,)1y ,
(2x ,)2y ,(3x ,)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是( )
A .
213y y y >> B .123y y y >> C .321y y y >> D .231y y y >> ☆ 6. 如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线,且在第
二,四象限内,那么k 的值是多少?
☆ 7.如果一次函数
()的图像与反比例函数x m n y m n mx y -=≠+=30相交于点(221,),那么该直线与双曲线的另一个交点为
( )
☆ 8. 已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数
6y x
=的图象相交于A ,B 两点,点A 的横坐标是3,点B 的纵坐标是-3.
☆ (1)求一次函数的表达式;
☆ (2)当一次函数值小于0时,求x 的取值范围.
9. 已知反比例函数k y x =的图象经过点A (-2,3).
☆ (1)求这个反比例函数的表达式;
☆ (2)经过点A 的正比例函数
y k x '=的图象与反比例函数k y x =的图象还有其他交点吗?若有,求出交点坐标;
若没有,说明理由.
☆ 10.如图,在AOB Rt ∆中,点A 是直线m x y +=与双
曲线x m y =在第一象限的交点,且2=∆AOB S ,则m 的值是
_____.
☆
☆ 11.如右上图所示,在反比例函数2(0)y x x =>的图象上
有点1234,,,P P P P ,它们的横坐标依次为1,2,3,4,分别过些点作x 轴与y 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1234,,,S S S S ,则
123S S S ++= ________ . ☆ 求n S S ++++......S S 321的值(用含n 的代数式来表示)
_________________
☆ 中考真题精选:
☆ 1.(江苏扬州)某反比例函数的图象经过点(-1,6),则
下列各点中,此函数图象也经过的点是( )
☆ A. (-3,2) B. (3,2) C.(2,3) D.(6,1)
☆ 2.(重庆江津区)已知如图,A 是反比例函数k y x =的图
象上的一点,AB 丄x 轴于点B ,且△ABC 的面积是3,则k 的值是( )
☆ A 、3 B 、﹣3 C 、6 D 、﹣6
☆ 3.(吉林)反比例函数
的图象如图所示,则k 的
值可能是( ) ☆ ☆ A 、﹣1 B 、 C 、1 D 、2
☆ 4. (辽宁阜新)反比例函数6y x =与3y x =在第一象限的图
象如图所示,作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点,连接OA 、OB ,则△AOB 的面积为( )
☆
☆ A.3
2 ☆ 5.(玉林)如图是反比例函数y=x k 1和y=x k 2(k 1<k 2)
在第一象限的图象,直线AB ∥x 轴,并分别交两条曲线于A 、B 两点,若S △AOB =2,则k 2﹣k 1的值是( ) ☆ A 、1 B 、2 C 、4 D 、8。