如果场景存在 3 个独立刚体运动的物体，可得到关于内参数的 6 个约束，与方程（10）的 4 个约束合
在一起，共有 10 个约束. 因此，我们有下述结论.
结论 2：当存在场景中平移运动的物体时, 为了确定摄像机内参数还至少需要场景中存在 3 个以上的
作独立（一般）刚体运动的物体.
3.2 确定内参数的算法
摄像机作刚体运动 (R, t) 时，它们分别作刚体运动 (RBj , t Bj ) .
背景在第一、二个视点下的图像分别记为
I
A
,
I
′
A
,
图像对（
I
A
,
I
′
A
）基本矩阵记为
F
A
,
图像
I
′
A
上的
极点记为
e
′
A
,
则必有
FA
≈
[e
′
A
]×
H
A∞
,
H A∞
=
K
′RK
−1
,
e
′
A
≈
K ′t
（6）
其中
H
A∞
表示图像对（
∑ ( ) min x
m BC j k
( x)m6C j
(x)
−
mC j k
( x)m6BC j
(x)
2
j ,k
（14）
然后，选取一个合理的初值和一种迭代算法（如共轭梯度算法）来求解. 算法二：两步算法［10］. 先估计（12）中的非零常数因子，然后将所估计的常数因子代入（12）式，
再求解这个线性方程组即得到Θ 的值. 将所得到的Θ 值代入（11.1）式，在相差一个常数因子的意义下获得 Θ′ ，将其最后一个元素归一化
2008 年第 2 期 （总第 60 期）
漳州师范学院学报(自然科学版) Journal of Zhangzhou Normal University（Nat. Sci.）
No. 2. 2008 年 General No. 60
文章编号:1008-7826(2008)02-0050-06
一种动态场景的三维重建方法
( j = 1,2,..., N )
（11.1） （11.2）
s F ΘFT
BC j BC j
BC j
=
FC
ΘF T
j
Cj
( j = 1,2,..., N )
（12）
其中， sBC j 是未知的非零常数，且 FBC j = [eC′ j ]× H B
因此，求解内参数最终归结为求解 5 元二次方程组（12）.
H B∞
=
K ′R~B K −1 相差一个非零常数因子.对任意一对图像对应点 (mB ,
m
′
B
)
∈
(
I
B
,
I
′
B
)
,
由方程
⎩⎨⎧PPaaBB12
x x
a a
= λBmB = λB′ m′B
所确定的空间点 xa 与实际空间点 xB ∈ B 之间相差一个仿射变换, 所以称（8）式为仿射重构. 因此物 体 B 的仿射重构, 其本质是在相差一个非零常数因子的意义下确定 H B∞ .
运动的物体 C.
记
I
c
,
I
′
c
分别为摄像机运动前后所获得物体
C
的图像，Hale Waihona Puke 记FC为（I
c
,
I
′
c
）的基本矩阵，
eC′
为图像
I
′
c
的极点，则我们有下述关于约束内参数的
KRUPPA
方程：
sC
[e
′
C
]×Θ′[eC′
]×T
=
FCΘ FCT
（11）
其中, sC 是一个未知的非零常数. 方程（11）可提供关于内参数的两个独立约束.
关键词：运动物体 ; 欧氏重构 ; 单应矩阵
中图分类号：
TP391.41
文献标识码：
A
1 引言
从图像恢复物体可见表面的三维形状简称 3D 重构, 它是三维计算机视觉中重要研究方向. 传统的重 构方法是在摄像机内参数已知的情况下, 通过两幅图像间的本质矩阵来重构物体［1］. 自九十年代中期以 来，由于摄像机自标定技术的出现使得从未标定的图像序列（即摄像机的内参数是未知的）进行三维重构 成为可能［2,3,4］. 本文讨论在获取图像序列的过程中摄像机的内参数发生变化（即摄像机为变参数模型）下 动态场景的三维重构. 文［5］指出对于可变的五参数模型, 从平移视点的图像不可能进行仿射重构, 本文 提出在场景中除存在平移运动的物体外, 还至少存在三个以上的作独立（一般）刚体运动的物体, 则场景 中的静止物体和运动物体都可以被欧几里得重构, 其算法归结为求解一个 5 元二次方程组.
x x
e e
= λBmB
=
λ
′
B
m
′
B
所确定的空间点 xe 与实际空
间点 xB ∈ B 之间仅相差一个尺度因子α ，因此称（9）式为欧氏重构. 物体 B 的欧氏重构，在本质上是求
( ) 解摄像机内参数，因为一旦知道了内参数就可以确定本质矩阵，从而可以可确定 R~B α~tB .
3 欧氏重构
运动态场景的欧几里得重构，即通过运动态场景的两幅图像来确定摄像机的内参数.
m BC j 3
( x ) ⎟⎞
⎜⎛ m1C j ( x)
m BC j 5
m BC j 6
( x ) ⎟, ( x ) ⎟⎟⎠
M
C
j
=
⎜ ⎜⎜⎝
m2C m3C
j j
( (
x) x)
m2C j ( x) m4C j ( x) m5C j ( x)
m3C j ( x) ⎟⎞
m5C m6C
j j
( (
x) x)
⎟ ⎟⎟⎠
其
中
，
m BC j k
(
x),
mCj k
(
x)
是
x
= (x1, x2 ,..., x5 )T 的一次函数.
消去(4)中的非零常数因子，有
m BC j k
(
x )m6C
j
(
x)
−
mCj k
(
x)m6BC j
(
x)
=
0
(k = 1,2,...,5; j = 1,2,..., N )
将上述方程的求解变为求解下述规划问题：
廖永贵
(莆田学院 医学院, 福建 莆田 351100)
摘 要：从图像恢复物体可见表面的三维形状简称 3D 重构, 它是三维计算机视觉中重要研究方向. 本文讨
论变参数摄像机模型下动态场景的三维重构. 主要实现场景中除存在平移运动的物体外, 还至少存在三个以上的
作独立（一般）刚体运动物体的三维重建. 实验表明, 本文所提的算法是可行的, 并且具有一定的鲁棒性.
别记为
m
B
,
m
′
B
,
则必有
其中
mB ≈ KxB
m
′
B
≈
K ′(Rx~B
+
t)
=
K ′(R~B
xB
+
~tB )
（3） （4）
收稿日期: 2007-12-06 作者简介: 廖永贵(1973-), 男, 福建省莆田市人, 讲师.
第2期
廖永贵 : 一种动态场景的三维重建方法
51
R~ B = RR B , ~tB = t + Rt B
即得 Θ′ 的值. 最后将Θ ，Θ 作乔里斯基分解得摄像机内参数 K, K ′ .
如果场景中不存在平移运动的物体，则至少存在四个以上的作独立（一般）刚体运动的物体，场景中
的静止物体和运动物体才可以被欧几里得重构，其算法归结为求解一个 10 元二次方程组.
3.3 欧氏重构算法
（1） 确定摄像机内参数 K , K ′ ；
实验表明本文算法是可行的且具有一定鲁棒性与稳定性.
54
漳州师范学院学报（自然科学版）
∇
f
(1)100 v
80
60 40
20
0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
NOISE (PIXELS)
|
∇f
( u
j
)
|=|
f ( j) ut
−
f ( j) uc
|,
|
∇f
( v
j
)
|=|
f ( j) vt
−
f (j) vc
|
|
∇u ( j)
|=|
u( j) t
− uc( j)
|,| ∇v( j)
|=|
v( j) t
−
v( j) c
|,| ∇s ( j)
|=|
s( j) t
−
s( j) c
|
实验结果：每种噪声随机实验 100 次，取统计结果，内参数的绝对误差随噪声的变化曲线如图 2 所示，
4 实验结果
实验条件：给定摄像机运动参数与运动物体的运动参数；给定摄像机运动前、后的内参数矩阵. 实验方法：从背景与运动物体上各取 30 个点，计算两幅图像上的图像点坐标；对每个图像点加上随
机均匀噪声，再应用本文所给算法计算摄像机运动前、后的内参数矩阵 K (1) , K (2) .
误差度量：内参数的绝对误差：
≈ K ′~tBj
（7）
其中
H
Bj∞
表示图像对（
I
Bj