电磁学第一章作业
解：
（1）静电平衡时，电容器内外极板及金属球壳内外表面所带的 电量如图所示。作半径为r的同心球面作为高斯面。利用电场的 球对称性，由高斯定理得：
Ò S
v E
v dl
4
r
2E
q
0
q
E 40r2
电场分布为：
E 0 (r R1)
E
Q
4 0r 2
(R1 r R2 )
+q -l l +q
-2q
P
r
解: (1)两个电偶极子在P +q -l l +q
点产生的场强为：
-2q
P
EP
E1
E2
2ql
40 (r
l )3 2
2ql
40 (r
l )3 2
r
ql
2 0
(r
1 l
)3
(r
1 l
)3
2
2
ql
2 0
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
E 0 r R1
E
Q1
4 0r 2
R1 r R2
E 0 r R2
E
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
r
（3）根据电势的定义， Ⅲ区的电势为
UⅢ（r） 0
Ⅱ区的电势为
UⅡ
R2 r
Q1
4 0 r
E1 0 (r R1)
电场分布为：E2
q
40r 2
(R1 r R2 )
E3
0
(R2 r R3 )
E4
qQ
40r 2
(r R3)
R1
r
o q
-q
R2 R3
Q+q
（1）导体球的电势为：
U1
v v E dl
R1
σ
2 0
1
(R2
x
x2
)
1 2
考虑到方向
v E
σ
2 0
x x
(R2
x
x2
)
1 2
v i
（2）在保持se不变的情况下
当R 0时，E 0
当R 时，E se 2 0
v E
se
x
v i
20 x
（3）在保持总电荷Q不变的情况下
结果如何？ （4）求轴线上电势U(x)的分布，并画出 U-x曲线。
解：（1）将圆盘分割为宽度为dr的无数个圆环， x
dr
取圆电荷元 dq σ 2πrdr
由上题结果
dE
xdq
4π0 (x2
r 2 )32
r
1. 26 圆盘电荷
则
E
R 0
2πσxrdr
4π0 (x2 r2
3
)2
为多少？ （5）设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？
R1 R2 R3
r
o q
Q
解：
（1）静电平衡时，电容器内外极板及金属球壳内外表面所带的 电量如图所示。作半径为r的同心球面作为高斯面。利用电场的 球对称性，由高斯定理得：
Ò S
v E
v dl
4
r
2E
q
0
q
E 40r2
4 0
R1 R2 R3
r
o q’
-q’ Q+q’
1. 62 一球行电容器内外两壳的半径分别为R1和R4，今在 两壳之间放一个内外半径分别为R2和R3的同心导体球壳。
（1）给内壳（R1）一电量Q，求R1和R4两壳的电势差。 （2）求以R1和R4为两极的电容。
R1 R2 R3
r
o Q
R4
-Q
-Q Q
在r > R的区域II中的场强
ÒS
v E
dsv
2 rLEII
R2Le 0
r EII
R2 2 0 r
r er
E
R
r
（2） 0 rr r r2
UI r 20 dr 40
(r R)
UII
R r
e R2 2 0 r
err
drr
0 R
1.10 本题图中所示是一种电四极子，它由两个相同的
电偶极子组成p=ql，这两个偶极子在一直线上，但方向相反，
它们的负电荷重合在一起。试证明：在它们的延长线上离
中心（即负电荷）为r(r>>l)处，
（1）场强为
E
3Q
4π0r 4
（2）电势为 U (r) Q 4π 0 r 3
式中Q=2ql2叫做它的电四极矩。
l
(r
l )2 2
(r (r
l )(r l ) 22
l )3(r l )3
(r
l )2 2
22
ql l 3r2 3 2 ql2 3Q
20 r6
40r 4 40r 4
其中: Q 2ql2
(2) 电四极子在P点产生 +q -l l +q
E
E
e 2π0 x
e
2π0 a
x
2π 0
ae
a
x
x
A区：
EA
E
E
e 2π0 x
e
2π0 x
a
2π 0
ae
a
x
x
1-26 半径为R的圆面均匀带电，电荷的面密度se。
（1）求轴线上离圆心的坐标为x处的场强。
（2）在保持se不变的情况下，当 R→0 和R→∞时结果如何？ （3）在保持总电荷Q=R2se不变的情况下，当 R→0 和R→∞时
2.3103 V
1. 52 半径为R1的导体球带有电荷q，球外有一个内外半径 为R2和R3的同心导体球壳，壳上带有电荷Q。
（1）求两球的电势U1和 U2； （2）求两球的电势差△U； （3）以导线把球和壳联接在一起后， U1、U2和△U为多少？ （4）在情形（1）、（2）中，若外球接地，U1、U2和△U
Q
R2 2x2
2 0 R 2
Q
4 0 x 2
v Q xv
E 40x2
i x
当R 时，E 0
（4）取无穷远处为零电势点
解法1 U
v v E dl
x
x
σ
2 0
1
(R2
x
x2
)
1 2
dx
σ
2 0
x
1 R3
1 R4
（2）由电容的定义得
CQ U
Q
Q
4 0
1 R1
1 R2
1 R3
1 R4
E3
0
(R2 r R3 )
E4
q ' Q
40r 2
(r R3)
电势为：
U1
v v E dl
R1
R2 R1
E2dr
R3 E4dr
1
4 0
q' R1
q' R2
q
' Q R3
0
q ' QR1R2 R2 R1
err 2 0
drr
e R2 2 0
ln( R) r
e R2 4 0
eR2 (2 ln R 1)
4 0
r
解析：
(r R)
由于柱体外的电场与半径r成反比，沿径向积分时，在 上限为无限远时，函数不收敛，因此零电势点不能选在无限 远处。
1. 49 三平行金属板A、B、和C，面积都是200cm2，AB相距 4.0mm，AC相距2.0mm，BC板都接地。如果使A板带正电 3.0X10-7C，在略去边缘效应时，问B板和C板上感应电荷各是 多少？问A板的电势是多少？
2
dr
R2
Q1 Q2
40r 2
dr
Q1
4 0
(1 r
1 R2
)
Ⅰ区的电势为
U1(r)
U（Ⅱ R1）
Q1
40
(
1 R1
1 R2
)
U
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
O
R1 R2
r
1. 38 半径为R的无限长圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρe。
（1）求场强分布，并画出E-r曲线。 （2）轴线为电势零点求电势分布。
1 2
(R2
1
x
2
)
1 2
2
