R4 1
R1 R2 R3 R4
如果电路中含有电流源，此时的节点电压方程式的一般表
达式为
U
US R
IS
1 R
使用弥尔曼定理要注意下述约定：
(1) 凡是电压源的正极与待求节点相连时，US/R取正，反 之取负。IS流入待求节点取正，反之取负。
(2) 分母为各支路的电阻的倒数和，恒为正值。
(3) 在列方程式时，与各电流源串联的电阻应当去掉，并 不计入分母为各支路的电阻倒数和中。
图2.1 例2.1电路示意图
对节点a列KCL方程：
I1+I2=I3
对回路I列KVL方程：
R1I1+R3I3= U S 1
对回路Ⅱ列KVL方程：
R2I2+R3I3= U S 2
将已知元件数值代入方程组，并化简得
I1+I2-I3=0 I1=60-27I3 I2=50-27I3
求解联立方程组得
I1=6A I2=-4A I3=2A
将图2.5所示的已知元件参数代入式(2.6)和式(2.7)得
对a点：
3(1211)Va 11Vb
对b点：
1(1112)Vb 11Va
对上两式求解后可得： Va 4.4V , Vb 3.6V
再利用欧姆定律可求得
，
I1Biblioteka Va R14.42.2A 2
I2VaR 2Vb4.41 3.60.8A
I3
Vb R3
下面举例说明应用弥尔曼 定理解题的方法。
图2.2(a)所示电路中有2个 节点。设b节点为参考节点(接 地)，a节点电压待求，各支路 电流方向如图中所标示。
为了求得最简单等效图， 先将图2.2(a)电压源模型等效 变换成图2.2(b)电流源模型。 将图中所有电流源合并成一个 电流源IS，可得
IS
US1 R1
用节点电压表示各支路电流分别为
I1
Va R1
I2
Va Vb R2
代入式(2.1)、式(2.2)，并进行处理可得
I3
Vb R3
IS1
Va R1
Va Vb R2
IS2
Vb R3
Va Vb R2
对上式进行整理可得
11 1
IS1
( R1
R2)Va
R2Vb
(2.6)
11 1
IS2
( R2
R3)Vb R2Va
解：如图2.4所示，设参考节点 接地，利用弥尔曼定理电位Va 可得
12 1
Va
R1 24 2 R1 1 1 2 R1
R1 2
图2.4 例2.3示意图
已知R2支路上的电流为3A，则Va=3×2=6V，代入上面方 程式，可得
R1 3Ω
2.2.2 多节点的电路电压法
上述的弥尔曼定理仅适用于计算两个节点的电路。下面利 用节点电压法来解3个节点及更多节点电路的计算问题。
第2章 直流电路的基本分析方法
教学提示：本章主要介绍几种常用的分析直流电路的方法： 支路电流法；节点电压法；叠加定理；戴维南定理和诺顿定理； 最大功率传输定理。
教学要求：初步掌握支路电流法；解题方法和步骤；理解 节点电压的概念，理解节点电压法；熟练掌握用弥尔曼定理求 解电路的基本方法；理解叠加定理的适用范围和叠加性；熟练 掌握戴维南定理分析电路的方法；理解负载获得最大功率的条 件及应用范围。
(参考方向与实际方向一致) (参考方向与实际方向相反) (参考方向与实际方向一致)
2.1.2 支路电流法的解题步骤
从上述分析可得出支路电流法的解题步骤： (1) 确定电路中支路数，并选择独立节点和独立回路。 (2) 设定各支路电流的参考方向及回路的参考绕行方向。 (3) 运用KCL定律列出独立节点的电流方程式。 (4) 运用KVL定律列出独立回路的电压方程式。 (5) 将已知元件参数代入，求解联立方程组，得出各支路 电流。
2.2 节点电压法
前面介绍的支路电流法是将支路电流作为未知量，但在解决 电路的某些问题，如电路中支路数目较多，列方程的数目就会 多，计算量也会很大。本节引入节点电压法，在电路节点数不 多且支路数较多的情况下，它是一种计算量较小的分析电路的 方法。弥尔曼定理是节点电压法的一个特例。
2.2.1 弥尔曼定理分析法
图2.5所示电路中共有3个节点，设节点c为参考节点，各 支路电流的参考方向如图2.5所标示。
图2.5 节点电压法举例
根据KCL，可列出独立节点电流方程
IS1 I1 I2
(2.1)
IS2 I2 I3
(2.2)
由图2.5可知，恒流源、电阻R1的端电压就等于a点电位Va； 恒流源、电阻R3的端电压就等于b点电位Vb；R2上电压U2等于a 点至b点的电位差Va-Vb。
US2 R2
US3 R4
图2.2 弥尔曼定理电路举例示意图
将图2.2(b)中的所有电阻并联成一个总电阻R，可得
RR 1//R 2//R 3//R 4
1
1
1
1
1
R1 R2 R3 R4
由此，可以得到图2.2(c)示意图。求得节点a的电压Ua为
US1 US2 US3
Ua
ISR
R1 1
R2 1
1
3.6 2
1.8A
由此，总结出节点电压法解题步骤：
(1) 选定一个参考节点(接地点)。对其他节点编号，其他节 点与参考节点之间的电压为待求节点电压。
(2.7)
方程式右边第一项括号内电导之和称自电导，自电导等于 连接于本节点上所有支路的电导之和，恒为正值；右边后面项 的电导为相邻节点与本节点之间支路电导，称为互电导，互电 导总是取负值。方程式左边则是汇集到本节点上的所有已知电 流的代数和(流入节点取正、流出节点取负)，求解该方程，可 得节点电压。最后求出各未知支路电流。
1. 节点电压的概念
所谓节点电压，就是对于一个多节点电路，可在电路中选 定某一个节点作为参考节点，那么其他各节点对参考节点的电 位，都可以看做该节点与参考节点之间的节点电压。
节点电压法是以节点电压为未知量的分析电路的方法。下 面先介绍弥尔曼定理是节点电压法。
2. 弥尔曼定理
弥尔曼定理应用于电路只有两个节点时的计算，在电路中 选定一个节点为参考节点(接地点)，只要另一个节点对参考节 点之间的节点电压求出后，使得两个节点之间的任一支路电流、 电压的求解变得十分简单。
【例2.2】 如图2.3所示的电路，求图中R1上电压U1的值?
图2.3 例2.2示意图
解：如图2.3所示，设一个参考节点接地，利用弥尔曼定理，先
求出另一节点电位Va，可得
8
8
Va
1
2
2 3V
11 8
12 2 2 6
R1上的电压为
U1R1R 1R2Va1 1231V
【例2.3】 如图2.4所示的电路，求图中R1的阻值是多少？