第四章 转动参照系
§4.1 平面转动参照系 §4.2 空间转动参照系 §4.3 非惯性系动力学（二） §4.4 地球自转所产生的影响
1、速度
§4.1 平面转动参照系
平板参照系 S′：运动坐标系 o xyz 与平板一起以 绕 z 轴转动
地面参照系 S：静止坐标系 o ，两坐标系原点重合
k = k
at
d
dt
r
(
r) 2r
牵连加速度
ac
2 d *r
dt
2 v
科里奥利加速度
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地球自转： 是一个恒矢量(量值和方向都不变),可以 OB 表之，
故 d 0 ,则
dt
at
d
dt
r
( r ) 2r
(r cos ) r 2
OM2 (OM MP)2 2R
在此情形下 a a 2R 2 v
2、动点P的绝对速度
v = dr = d*r r
dt dt 绝对速度=相对速度+牵连速度
3、动点P的绝对加速度
a dv = d*v v
dt dt
= d 2*r d* r + d*r (d*r r )
dt2 dt
dt
dt
d d * d *
dt dt
dt
a
=
平板上一质点 P r xi yj
v dr xi yj x di y dj
dt
dt dt
v x i y j
v r
v v r
绝对速度 相对速度 牵连速度
s
y
p r
x
j i
z( )
o
k
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v dr xi yj x di y dj = x y i y x j
ma mg R m r m 2r 2m v
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ma mg R m r m 2r 2m v
得小球的运动微分方程为
mx = m 2 x
(1)
my 0 Ry mg
(2)
mz 0 2m x Rz (3)
量值,因为这时 r 已变为 r vt ，故又一次产生了横向加速度v ，因而
沿横向的科里奥利加速度为 2v .
如质点在盘上不动,即 v 0 ,则在瞬间 t t ,质点只随着盘转到1 的
位置,它离盘心 O 的距离仍然等于 r ,所以只有径向加速度 2r .
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§4.2 空间转动参照系
转动参考系定点转动，的量值方向都改变 ，OO＇重合
[解]设在某一瞬时 t ,质点运动到 1 位置,
在 t t 瞬间,运动到 2位置,假定 t 很小,
于是 cost 1, sint t , t 2 0 ,
故在 2处可仍按原先 O12 的径向及横向进行投影
vr [vcost (r vt) sint] v
[v (r vt)t] v 2rt (1)
对于平面转动参照系 S 而言，如果添上三种惯性力：
m r , m2r 和 2m v，
则牛顿运动定律对 S 就“仍然”可以成立
变角速惯性力 m r ， S 系作变角速转动所引起的 惯性离心力 m2r ， S 系的转动所引起的 科里奥利力 2m v，参照系 S 的转动及质点的相对运动所引起
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§4.3 非惯性系动力学（二）
(1)平面转动参照系
１．相对于 S＇系的动力学方程
a = a r + 2r 2 v
如果质量为 m 的质点所受到的合外力为 F ，
即 ma = F
故有
ma = F m r + m2r 2m v
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2.惯性力
ma = F m r + m2r 2m v
v [(r vt) cost vsin t] r
[(r vt) vt] r 2vt (2)
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由此得
ar a
lim vr t0 t lim v t0 t
2r
2度 v 的方向,因而产生了横
向加速度v ;同时,相对运动(质点向外运动)又改变了牵连速度 r 的
[例]在一光滑水平直管中，有一质量为 m 的小球.此管以恒定角速 度 绕通过管子一端的竖直轴转动.如果起始时，球距转动轴的距 离为 a ，球相对于管子的速度为零，求小球沿管的运动规律及管 对小球的约束反作用力. [解一]非惯性参照系求解 设小球在某一瞬时运动到 P 点， 位置为 x ，速度为 x ， 设管对小球反作用在 z 方向上的分力为 Rz ，竖直分力为 Ry
在 s 系中的观察者看来,牵连运动(即 )可使相对速度 v 发生改变
而相对运动(即 v )又同时使牵连速度 r 中的 r 发生改变
牵连运动与相对运动相互影响
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[例]圆盘半径为 R ,以匀角速度 绕垂直于盘心O 的轴线转动.一质点沿径向槽 自盘心以匀速度v 向外运动,试求质点加速度各分量的量值
1、任一矢量G 的变化率
G Gxi Gy j Gzk
dG dt
dGx i dt
dGy dt
j
dGz dt
k
Gx
di dt
Gy
dj dt
Gz
dk dt
di i dj j dk k
dt
dt
dt
dG d*G G
dt dt
绝对变化率=相对(或地方)变化率+牵连变化率
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dt
dt dt
2、加速度 a dv (x 2 y 2x)i ( y 2x 2 y) j yi xj
dt
= xi + yj 2xi 2 yj yi xj + (2 yi 2xj )
a
2r
相对加速度 向心加速度
r
2 v
变角速切向加速度 科里奥利加速度
科氏加速度产生原因： a a a t ac
d 2*r dt 2
d
dt
r
+ (
r ) + 2
d*r dt
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a = d 2*r d r + ( r ) + 2 d*r
dt2 dt
dt
=
d 2*r dt 2
d
dt
r
+
( r ) -2r
+ 2 d*r
dt
a = a + at + ac
a
d 2*r dt 2
相对加速度
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更一般的情况
S ′系的原点不与S系重合，且相对速度为v 0 相对
加速度为 a 0，则
v
dr dt
d *r dt
v 0 r
a d 2*r dt 2
a = a + at + ac
相对加速度
at
a0
d
dt
r (
r) 2r
牵连加速度
ac
2
d *r dt
2
v
科里奥利加速度
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