放射性废物处理问题摘要和平利用核能，促进人类社会的和平发展，乃是人类社会目前的一大重任。

因此对放射性废物的处理也将是这项任务之中的重中之重。

本文将讨论放射性废物的一种处理方法是否可行。

美国原子能委员会为了处理浓缩的放射性废物，他们把废物装入密封的圆桶，然后扔到水深为91.5m的海里。

我们需要对这种处理方法的可行性进行论证。

讨论圆桶在与海底碰撞中是否会发生破裂而导致放射性污染发生，危害地球生态环境。

工程师进行了大量的试验以后发现：当圆桶的速度超过12.2m/s，就会因碰撞而破裂。

只要圆桶碰撞速度小于12.2m/s，圆桶就不会发生破裂。

对此论证大致有三种模型：第一、根据时间与速度的关系我们可以得到时间速度函数来确定其速度。

即dy2 d2t =Fm、v(0)=0就可得到时间速度函数来求得所需速度。

第二、根据时间速度关系可以推导出位移速度关系式，如此已知位移也就可求得所需速度。

第三、根据前两种模型进行必要的修正以使得模型具体化、简单化并且更容易得到所需速度。

关键词：放射性废物处理时间速度变化曲线位移速度关系1 问题的背景随着社会的加速发展，人类的物质需求逐渐增加，社会能源需求日益紧张，煤、石油、天然气等化石燃料储量逐渐减少，可再生能源利用情况不容乐观。

在这种严峻的能源危机之下，核能这种比较可观的能源逐渐进入了人类的视线，开始了加速和平利用核能的进程，在一定的程度上可以缓解现在的能源危机现状。

但在和平利用核能的过程中，必然会产生相当数量的放射性废物，而其中固体放射性废物又占相当的比例。

由于放射性废物的危害性大，很多废物的衰变期漫长，处置是否妥当直接关系到公共环境安全。

放射性污染对人类生命安全和地球上的生物存在严重的威胁，所以特别为人民随关注，和平利用原子能，为人类造福不浅，但是核废料处置不好，又将对人类是一大危害，核废料如何处置为好，必须进行科学论证。

放射性废物处理主要有深埋地下或放置在深海之中这两种方法，对这两种方法各有利弊，均可采用。

过去一段时间，美国原子能委员会为了处理浓缩的放射性废物，他们把废物装入密封的圆桶，然后扔到水深为91.5m的海里，一些生态学家和科学家为此表示担心，圆桶是否会在运输过程中或者与海底发生碰撞破裂而造成放射性污染？美国原子能委员会保证说在运输过程和与海底碰撞中圆桶都不会破裂。

在次我们讨论圆桶是否会在与海底碰撞中破裂而产生放射性污染。

2 问题的重述放射性污染对人类生命安全和地球上的生物存在严重的威胁，所以特别为人民随关注，和平利用原子能，为人类造福不浅，但是核废料处置不好，又将对人类是一大危害，核废料如何处置为好，必须进行科学论证。

对放射性废物的深海处理方法，必须保证其圆桶不会破裂。

运用不同的方法建立模型论证其安全性。

根据时间速度关系和位移速度关系建立时间速度模型和位移速度模型，在对以上两个模型进行修正以使模型简单化、具体化。

3 基本假设（1）假设题中所给数据基本真实有效；（2）假设在圆桶运输过程中不会发生破裂；（3）假设圆桶方位对于阻力影响甚小可以忽略不计；4 模型的符号说明5 模型分析建立及求解5.1数据准备记W表圆桶重量，m=239.46kg，g=9.8 m/s2,W=mg。

圆桶体积V=250.25L=0.208m3，海水密度ρ=1026.52kg/m3，圆桶收到海水的浮力Bg=ρVg=g×213.5kg，Dg表示水作用在圆桶上的阻力，它阻碍圆通在水中的运动，与物体运动方向相反，通常与速度v成正比，D=cv，c>0为常数，通过大量实验得出如下结论：圆桶方位对于阻力影响甚小可以忽略不计，且c= 0.119kg·s/m。

5.2 时间速度模型如图5-1选取坐标系，记W表圆桶重量，B表示水作用在圆桶上的浮力，D 表示水作用在圆桶上的阻力，则作用在圆桶上的力为F=W−Bg−cvg有牛顿第二定律：物体的加速度同作用在它上面的合力F 成正比，即F =ma 。

而a =d 2y dt 2，所以得d 2y dt 2=1m (W −Bg −cvg )=gm(m −B −cv)(5.22) 这是二阶常微分方程，作代换v =dydt, d 2ydt 2=dv dt，则（3.13）变为{dv dt +cgv m =g m(m −B)v (0)=0（5.23）这是初始值为零的一阶线性非齐次微分方程，其解为v (t )=m −B c[1−e −cgt m ](5.24)由（3.15）式知，圆桶的速度v 为时间t 的函数，要确定圆桶同海底的碰撞速度v ，就必须算出圆桶碰到海底所需的时间t 。

遗憾的是，不可能作为位移y 的显函数求出t ，对于时间t 我们不能求出，所以不能用方程（3.15）来求出圆桶同海底的碰撞速度。

根据matlab 编程可以画出速度随时间的变化曲线，其程序见附表1，时间速度曲线如下：但根据方程（3.15）及上图可以得到圆桶的极限速度VT，当t→∞时，V T=m−Bc 。

根据（3.15）显然有v(t)<V T=m−Bc，如果极限速度小于12.2m/s ，那么圆桶就不可能因同海底碰撞而破裂。

然而m−B c =239.46−213.50.119=218.15 m/s很显然V T≫v(t)，还不能断定v(t)究竟是否能超过12.2m/s 。

5.3 位移速度模型鉴于时间速度模型中对于时间我们不能求出而导致该模型不能直观的求出在y=91.5m位置的速度。

我们改进上述模型，通过位移速度关系式来确定在y= 91.5m位置的圆桶速度。

可以将时间速度关系式改写为位移速度关系式，即v(t)=v[y(t)]，有复合函数微分法可得，dv dt =dv dy ·dy dt =v dv dy代入（5.22）中，得m g v dvdy=m −B −cv (5.31)显然可知初始条件为v(0)=0。

为了得到速度v 与位置y 之间的一个关系式，采用如下方法： 由(5.31)可得到vdv m −B −cv =gmdy(5.32)对（5.32）积分可得∫rdr m −B −cr =∫g my0v0ds =gym(5.33)而式(5.33)左端有∫rdr m −B −cr =−1c v0∫−cr +W −B m −B −cr dr +m −B c ∫drm −B −cr v 0v 0=−1c ∫dr +m −B c v 0∫dr m −B −cr v 0=−v c −m −B c 2ln |m −B −cv |m −B前面已讨论（m −B ）c ⁄是极限速度V T ，v <m−Bc ，因而m −B −cv >0 ，于是有gy m =−v c −m −B c 2ln |m −B −cv |m −B(5.34)由(5.34)可以通过已知的y =91.5m 来求得速度v(y)，但由于不能从（5.34）式中解出v 是y 的显函数来，不能直接的求的v(91.5),因此要利用微分方程数值解法，借助于计算机很容易解得v(91.5)。

通过matlab 编写程序来求得v(91.5)= 13.75 m/s 。

具体程序详见附件2。

因为v(91.5)= 13.75 m/s >12.2m/s 可知美国原子能委员会所提出的这种放射性核废料的处理方法是错误的，将其投入91.5m 深的海中，圆桶必将因碰撞而破裂，导致放射性核废料泄漏而发生放射性核污染。

5.4 位移速度模型改进模型位移速度模型可求得v(91.5)，但由式（5.34)可知，位移y 与速度v 并不是显函数关系，要求得v(91.5)就必须借助于计算机，模型并不简单方便。

通过改进，我们可以用近似的方法求出一个很好的近似值来代替v(91.5) 已知圆桶速度v(y)满足初值问题{m g v dvdy =m −B −cv v (0)=0(5.41) 在（5.41）中令c=0（即不考虑水的阻力），并用u 代替v ，以示区别，得{m g u du dy =m −B u (0)=0(5.42) 直接积分（5.42），得mu 22g=(m −B)y 或u =√2gm(m −B)y由此可直接计算得u (91.5)=√2×9.8×25.96×91.5239.46≈√194.42≈13.94 m/s由此可以得到u(91.5)是一个v(91.5)的比较好的近似值。

其原因主要有： （1） 当不存在于运动方向相反的阻力时，即c=0时，圆桶的速度总会大一些，因此v(91.5)<u(91.5)。

（2）当y增加时，速度v增加，所以对于y≤91.5，有u(y)≤u(91.5)。

由此可以得出水作用在圆桶上的阻力D总是小于0.119×u(91.5)≈1.66kg，即D< 1.66kg。

圆桶向下的合力近似为25.9kg，即m−B≫D，因此忽略D影响很小，所以认为u(91.5)是v(91.5)的一个比较好的近似值。

有该模型也可得到圆桶在与91.5m 深的海底碰撞时会发生破裂，而导致放射性废物污染。

6 模型评价6.1 优点基于位移速度模型避免速度因时间变化关系，在问题的解决上更加的直接，方便。

基于时间速度模型在直观上通过时间速度曲线了解速度随时间的变化趋势，以及其最大值。

基于位移速度模型改进模型通过改进模型能够更加的方便解决问题，是问题趋向于简单化。

6.2 缺点基于时间速度模型只能够得到速度随时间的变化关系，但不能够确定具体时间，因此就不能有效解决问题。

基于位移速度模型改进模型该模型采取近似的方法实现目标，但在近似过程中有可能受到其他变量的较大的影响。

6.3模型的应用在解决该问题的方法问题上，位移速度模型能够精确都得到所需数值，但需要计算机辅助，位移速度模型改进模型可以比较方便的求出数值，达到目的，但其数值为近似值，不是很精确。

时间速度模型可以了解速度随时间的变化规律。

因此，在条件允许下优先选用为位移速度模型。

条件限制情况下选用位移速度模型改进模型。

[参考文献]：[1] 谭永基等，数学模型，[M]，上海：复旦大学出版社。

[2] 薛定宇，陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，[M]，北京：清华大学出版社，2004。

[3] 吴锡珑，大学物理教程，[M],高等教育出版社。

附录：附件1：绘制时间速度曲线程序syms t v;m=239.46;B=213.5;c=0.119;v=(m-B)/c*[1-exp(-c*9.8*t/m)];v=inline(v)fplot(v,[0,1000])附件2求解位移速度方程程序function p=w2(v);syms v;v=solve('-v/0.119-(239.46-213.5)/0.119^2*log((239.46-213.5-0.119*v)/( 239.46-213.5))=9.8*91.5/239.46')。