湖南省第4届大学生物理竞赛试卷2011年5月14日 时间：150分钟 满分120分一、 选择题 (每题3分，共18分)1.设某种气体的分子速率分布函数为)(v f ，则速率在1v ～2v 内的分子的平均速率为（ ）。

(A) ⎰21)(v v v d v vf ； (B) ⎰21)(v v v d v f v ；(C) ⎰⎰2121)()(v v v v v d v f vd v vf ； (D) ⎰⎰∞)()(21v d v f vd v f v v 。

2. 如图所示带负电的粒子束垂直地射入两磁铁之间的水平磁场，则( )。

(A) 粒子向N 极移动； (B) 粒子向S 极移动； (C) 粒子向下偏转； (D) 粒子向上偏转。

3.如图所示，一个带电量为 q 的点电荷位于立方体的 A 角上，则通过侧面 abcd 的电场强度通量等于（ ）。

A 、 06εq ；B 、012εq； C 、024εq ； D 、048εq。

4. 如图a 所示, 一光学平板玻璃 A 与待测元件 B 之间形成空气劈尖，用波长 nm 500=λ 的单色光垂直照射，看到的反射光的干涉条纹如图b 所示，有些条纹弯曲部分的顶点恰好于其右边条纹的直线部分的切线相切，则工件的上表面缺陷是 ( ) 。

（A ） 不平处为凸起纹，最大高度为nm 500； （B ） 不平处为凸起纹，最大高度为nm 250；Aqcb da（C ） 不平处为凹槽，最大高度为nm 500； （D ） 不平处为凹槽，最大高度为nm 250。

5. 在图示三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射，在反射光中看到干涉条纹，则在接触点P 处形成的圆斑为( ) 。

(A) 全明； (B) 全暗；(C) 右半部明，左半部暗； (D) 右半部暗，左半部明。

6. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： axax 23cos1)(πψ⋅=)(a x a ≤≤-那么粒子在6/5a x =处出现的几率密度为（ ）。

(A) )2/(1a ； (B) a /1 ； (C) a 2/1 ； (D) a /1 。

二、填空题(每题3分，共21分)1. 一匀质细杆长为l ，质量为m ，杆两端用线吊起，保持水平，现有一条线突然断开，则断开瞬间另一条线的张力为 。

2. 图示两条曲线分别表示氦、氧两种气体在相同温度T 时分子按速率的分布，其中曲线 1 表示 _ _气分子的速率分布曲线，曲线 2 表示 __ _ 气分子的速率分布曲线。

3. 一氧气瓶的容积为V ，充入氧气的压强为1P ，用了一段时间后压强降为2P ，则瓶中剩下的氧气的内能与未用前氧气的内能之比为 。

4. 长直导线中通有电流 I ，长L 的金属棒AB 以速度V平行于vf(v)12I alVA B长直导线作匀速运动。

棒近导线一端与导线的距离为a ，则金属棒中的感应电动势i ε的大小为 ，i ε的方向为 。

5. 电荷线密度为 1λ 的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为 2λ 的有限长均匀带电直线AB ，两者位于同一平面内，则AB 所受静电作用力的大小F＝ 。

6. 三个偏振片1P 、2P 与3P 堆叠在一起，1P 与3P 的偏振化方向相互垂直，2P 与1P 的偏振化方向间的夹角为 30，强度为0I 的自然光垂直入射于偏振片1P ，并依次透过偏振片1P 、2P 与3P ，若不考虑偏振片的吸收和反射，则通过三个偏振片后的光强为 。

7. 如果一个光子的能量和一个德布罗意波长为λ 的电子的总能量相等，设电子静止质量为e m ，则光子的波长为 。

三、简答题（共14分）1. 红外线是否适宜于用来观察康普顿效应，为什么? (红外线波长的数量级为510A ，电子静止质量311011.9-⨯=e m kg ，普朗克常量s J 1063.634⋅⨯=-h ) （本题5分）2. 假定在实验室中测得静止在实验室中的+μ子(不稳定的粒子)的寿命为6102.2-⨯s ，而当它相对于实验室运动时实验室中测得它的寿命为51063.1-⨯s ．试问：这两个测量结果符合相对论的什么结论? +μ子相对于实验室的速度是真空中光速c 的多少倍?（本题5分）3. 为什么窗玻璃在日光照射下我们观察不到干涉条纹？（本题4分） 四、计算题（1至5小题每题10分，第6小题7分，共57分）1. 在高处自由下落一个物体，质量为m ，空气阻力为2kv -，落地时速度为m v ，问物体从多高处落下？2. 一半径为R ，质量为m 的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。

设盘与桌面间的摩擦系数为μ，令圆盘最初以角速度0ω绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它将经过多少时间才停止转动？3. 在半径为R 的圆柱形区域中有沿轴向的均匀磁场，磁感应强度满足kte B B -=0 ，有一根长度也是R 的金属杆放在圆柱内，其两端与柱面的壁相接，并处在与磁感线垂直的方向上，试求出：（1）在柱形区域内，涡旋电场强度E ； （2）在金属杆上，感应电动势ε。

4. 轴在同一水平面上的两个相同的圆柱体, 两轴相距L 2,它们以相同的角速度ω相向转动。

一质量为 m 的木板搁在两圆柱体上 , 木板与圆柱体之间的滑动摩擦系数为μ。

问木板偏离对称位置后将如何运动？周期为多少？5. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为C /N 100；在离地面km .51高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为C /N 25。

(1) 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；(2) 假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度。

(已知:212120m N C 10858---⋅⋅⨯=.ε)6. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱运动时，其德布罗意波在阱内形成驻波，ωωL2试利用这一关系导出粒子在阱中的能量计算式。

（本题7分） 五、证明题（10分）定体摩尔热容量V C 为常量的某理想气体，经历如图所示的pV 平面上的两个循环过程1111A C B A 和2222A C B A ，相应的效率分别为1η和2η，试证1η与2η相等。

湖南省第3届大学生物理竞赛试卷O1A p1B 1C 2C 2B 2A 1V 2V V2.（本题15分）是给出5种测量温度的方法，并简述每种方法的实验原理。

2010年湖南大学物理竞赛卷答案 一、填空题（每题4分共40分） 1. h 1v /(h 1h 2)2. mgl μ21 参考解： M ＝⎰M d ＝()mgl r r l gm l μμ21d /0=⎰3. (1) AM ， (2) AM 、BM4. 半径为R 的无限长均匀带电圆柱面5. ωλB R 3π 在图面中向上 6.)2/cos(/d d π+==t A NbB t x NbB ωωt NBbA ωωsin =7. t E R d /d 20πε8. 291 Hz 或309 Hz9. }]/)1([cos{φω+++=u x t A y (SI) 10. 平行或接近平行二、计算题（每题10分共80分）1. 解：分别取m 1和链条m 为研究对象，坐标如图． 设链条在桌边悬挂部分为x ， a m T g m 11=-， ma l xgm T =-/，解出)/1(21l x g a -= 2分当链条刚刚全部滑到桌面时x = 0，a ==g 21 4.9 m/s 21分xt x x t a d d d d d d d d vvv v -=⋅==1分 x l x g x a d )/1(21d d --=-=v v 2分两边积分 ⎰⎰--=002d )1(d 2l x l xg v v v 2分22222)4/3(/21gl l gl gl =-=v==2321gl v 1.21 m/s 2分（也可用机械能守恒解v ）2. 解：(1) 选细棒、泥团为系统．泥团击中后其转动惯量为 ()()224/331l m Ml J +=2分 在泥团与细棒碰撞过程中对轴O 的角动量守恒()ωαJ l m =⋅cos 4/30v 2分∴ ()()l m M m ml Ml l m 2716cos 36169314/3cos 0220+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=ααωv v 2分 (2) 选泥团、细棒和地球为系统，在摆起过程中，机械能守恒．()()()θθωcos 14/3cos 121212-+-=mgl Mgl J 2分 ()mgl Mgl ml Ml 4321)16931(21cos 1222++=-ωθ∴ ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-g m M l m M 724827161cos 21ωθ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-gl m M m M m 271632cos 541cos 22021αv 2分3. 解：(1) 系统开始处于标准状态a ，活塞从Ⅰ→Ⅲ为绝热压缩过程，终态为b ; 活塞从Ⅲ→Ⅱ为等压膨胀过程，终态为c ；活塞从Ⅱ→Ⅰ为绝热膨胀过程，终态为d ；除去绝热材料系统恢复至原态a ，该过程为等体过程。

该循环过程在p －V 图上对应的曲线如图所示。

图3分(2) 由题意可知 p a =1.013×105 Pa ，V a =3×10－3m 3， T a = 273K ，V b =1×10－3m 3， V c =2×10－3m 3. ab 为绝热过程，据绝热过程方程 )5/7(,11==--γγγb b a a V T V T ，得K 424)(1==-a ba b T V V T γ 1分 bc 为等压过程，据等压过程方程 T b / V b = T c / V c848==bbc c V T V T K 1分 cd 为绝热过程，据绝热过程方程 )(,11a d d d c c V V V T V T ==--γγ，得K 721)(1==-c dc d T V V T γ 1分(3) 在本题循环过程中ab 和cd 为绝热过程，不与外界交换热量; bc 为等压膨胀过程，吸收热量为 Q bc =νC p (T c －T b )式中R C p 27=．又据理想气体状态方程有p a V a = νRT a ，可得J 1065.1)(273⨯=-⋅=b c aa a bc T T T V p Q 2分 da 为等体降温过程，放出热量为)(a d V da T T C Q -=νJ 1024.1)(252⨯=-⋅=a d aa a T T T V p 2分 4. 解：(1) 设两球壳上分别带电荷＋Q 和－Q ，则其间电位移的大小为 D ＝Q / (4r 2) 两层介质中的场强大小分别为E 1 = Q / (40 r 1r 2) 1分E 2 = Q / (40 r 2r 2) 1分 在两层介质中场强最大处在各自内表面处，即E 1M = Q / (4r 121R )， E 2M = Q / (4r 2R 2)两者比较可得 ()()21221122212///R R R R E E r r M M ==εεVp Oadc b V b V c V a已知R 2＜2R 1，可得E 1M ＜E 2M ，可见外层介质先击穿． 3分(2) 当外层介质中最大场强达击穿电场强度E M 时，球壳上有最大电荷．Q M= 40r 2R 2E M 2分此时，两球壳间电压(即最高电压)为 ⎰⎰⋅+⋅=21d d 2112R R RR r E r E U⎰⎰π+π=21220210d 4d 4R Rr M RR r M rrQ r r Q εεεε ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2221112R R R R R R RE r r M r εεε 3分5. 解：当线框的一部分进入磁场后，线框内产生动生电动势和感应电流I ．因为有自感且线框电阻忽略，所以线框内感应电流I 的微分方程是：v a B t IL0d d = ① 2分 线框的运动方程为： I va B t m 0d d -= ② 2分 联立方程得： 0d d 222=+v vωt1分 其中 mLaB 0=ω 1分∴ t c t c ωωcos sin 21+=v 1分当 t = 0时，v = v 0 ∴ c 2 = v0 且因t = 0时，I =0 ∴ c 1 =0∴ t ωcos 0v v = 1分 线框沿x 方向移动的距离为： t x ωωsin 0v =2分如用能量方法解，则对应于① ②两式评分如下：2220212121LI m m +=v v 2分 把上式两边对时间求导，得 0d d d d =+tI LI t m v ∵ v a B t IL 0d d = 2分 代入上式得 0d d 0=+a IB tm v1分6. 解：设入射波的表达式为 )22cos(1φλν+π-π=xt A y 1分则反射波的表达式为 ])872(22cos[2φλλν+-⨯π-π=x t A y )2322cos(φλν+π-π+π=x t A 3分驻波的表达式为 21y y y +=)432cos()432cos(2φνλ+π-ππ-π=t x A 1分在t = 0时，x = 0处，有y = 0和 ( d y / d t ) < 0，故得：0)4/3cos()4/3cos(2=π-π-φA0)4/3sin()4/3cos(22<π-π-⋅π-φνA由上两式求得 = /4 2分B 点（λ21=x ）的振动方程为 )π41π43π2cos()π4321π2cos(2+--=t A y B νλλ)212cos(2π-π=t A νt A νπ=2sin 2 3分7. 解：(1) 斜入射时的光栅方程λθk i d d =-sin sin ， k = 0，±1，±2，… 3分 规定i 从光栅G 的法线n －n 起，逆时针方向为正；从光栅G 的法线n －n 起，逆时针方向为正． (2) 对应于i = 30°，设 = 90°，k = k max1，则有λ1max 30sin 90sin k d d =︒-︒)30sin 90)(sin /(1max ︒-︒=d d k λ= 2.10取整 k max1 = 2． 2分(3) 对应于i = 30°，设 = -90°， k = k max2， 则有 λ2max 30sin )90sin(k d d =︒-︒-]30sin )90)[sin(/(2max ︒-︒-=d d k λ = - 6.30取整 k max1 = -6． 2分 (4) 但因 d / a = 3，所以，第-6，-3，… 级谱线缺级． 2分 (5) 综上所述，能看到以下各级光谱线：-5，-4，-2，-1，0，1，2，共7条光谱线． 1分8. 解：设粒子Ａ的速度为A v，粒子Ｂ的速度为B v ，合成粒子的运动速度为V．由动量守恒得220220220/1/1/1cV VM cm cm BBAA-=-+- v v v v 2分因1v v v ==B A ，且B A v v-=，所以 0=V ． 2分即合成粒子是静止的．由能量守恒得2022202220/1/1c M c c m c c m =-+-v v 3分解出 2200/12cm M v -= 3分θ G L 2 Cnn i d sin θd sin i屏第k 级谱线光栅 透镜4m BA x湖南省第一届大学生物理竞赛试题2008年4月26日 时间：150分钟 满分120分一、填空题（每空3分，共36分）1．一质点作直线运动，加速度为t A a ωωsin 2=，已知0=t 时，质点的初始状态为00=x ，A v ω-=0，则该质点的运动方程为 。