对行为一一为一四边形两组边平一个内角R t ∠一个内角为Rt ∠, 一组邻边相等组邻边相等组对边平行且另一组对边不平行一个内角R t ∠组邻边相等四边形知识与题型总结一.本章知识要求和结构1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系. （1）演变关系图：（2）从属关系（依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表一种图形）平行四边形图2FE D CBA 图1FEDCBA2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 名称平行四边形矩形菱形正方形定 义 的四边形是平行四边形 的平行四边形是矩形 的平行四边形是菱形 的平行四边形是正方形 性 质 边角对角线对称性判定边角对角线面 积周 长3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.如图1， ABCD S =BC·AE=CD·BF30︒60︒60︒（2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2，ABCD S =BCFE S4.三角形中位线定理定义: 叫做三角形中位线（与中线的区分）;定理: 作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分.拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ;（4）直角三角形的性质 定理: 直角三角形斜边上的中线 5.正方形：（1）对角线：若正方形的边长为a ，则对角线的长为2a ;正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等（3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的一半.周长相等的四边形中， 正方形的面积最大. 6. ※梯形的中位线（1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线（2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.（3）梯形的面积S=12×（上底+下底）×高=中位线×高 7.几种特殊四边形的对角线① 矩形对角线交角为60︒(120︒)时,可得：等边三角形和含30︒角直角三角形 （①图）② 菱形有一个角为60︒时, 可得： ③ 正方形中可得： 含30︒角的四个全等直角三角形 四大四小等腰直角三角形CFBED A60︒60︒ADCBFE（②图） （③图）④ 对角线互相垂直的梯形, ⑤ 对角线互相垂直的等腰梯形平移腰可得：双垂图 可得：等腰直角三角形（④图） （⑤图）8. 中点四边形: （顶点为各边的中点，需讨论对角线&中位线） (1) 顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是_______________ (2) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点, 构成的四边形是__________(3) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是_______(4) 顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是_________ 顺次连结矩形各边中点构成的四边形是_________ 顺次连结菱形各边中点构成的四边形是_________顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是__________ 顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是__________二．典型题型归纳（一）概念题1．ABCD 中，∠A的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段，则ABCD 的周长为 ． 2．在ABCD 中，∠C=60º,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC于F ．（1）则∠EDF= ； （2）如图，若AE=4，CF=7，则ABCD 周长= ;(3) 若AE=3，CF=7，请作出对应图形，并求ABCD 周长．A BCDCBEA FD3．(1)在平行四边形ABCD 中，若∠C=∠B+∠D ，则∠A= .(2)已知在ABCD ,∠A 比∠B 小20º，则∠C 的度数是 ．(3)在ABCD 中，周长为100cm ，AB-BC=20cm ，则AB= ,BC= . （4）在ABCD 中，周长为30cm ，且AB ：BC=3：2，则AB= cm. （5）（2007河北省）如图，若□ABCD 与□EBCF 关于BC 所在直线对称，∠ABE ＝90°，则∠F ＝ °．4．（2007福建福州）下列命题中，错误的是（ ） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．等腰梯形的两条对角线相等D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 5.（2007浙江义乌）在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6.（2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 7.（2007四川眉山）下列命题中的假命题是( ) A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B ．一组邻边相等的矩形是正方形C ． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形8.（2007四川成都）下列命题中，真命题是（ ） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形9.（2007浙江嘉兴）如图，在菱形ABCD 中，不一定成立的（ ）Ａ．ABCD Ｂ．AC ⊥BD Ｃ．等边△ABD Ｄ．∠CAB ＝∠CAD（二）图形的性质和判定方法10．如图，已知四边形ABCD 是正方形，分别过A 、C 两点作1 //2 ，作BM ⊥2 于M ，DN ⊥2 于N ，直线MB 、ND 分别交1 、2 于Q 、P ，试判断四边形PQMN 的形状．11．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为正方形边上的点，而且AE=BF=CG=DH ，求证：四边形EFGH 为正方形．12．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上一点，AE=AB ，AB=2AD ，求∠EBC 的度数\l 2l 1QBAMNDC PEHGFDCBAECDAB（三）转化的思想——将梯形问题通过化归、分割、拼接转化成三角形和平行四边形问题. 如图所示：13．填空（1）等腰梯形上底长为3cm，腰长为4cm，其中锐角等于60º，则下底长是．（2）等腰梯形一个底角是60º，它的上、下底分别是8和18，则这梯形的腰长是，高是，面积是．（3）在直角梯形中，垂直于底的腰长5cm，上底长3cm，另一腰与下底的夹角为30º，则另一腰长为，下底长为．（4）等腰梯形两对角线互相垂直，一条对角线长为6，则高为，面积为．（5）已知在梯形ABCD中，AD//BC，若两底AD、BC的长分别为2、8，两条对角线BD=6，AC=8，则梯形的面积为．（四）推理论证的进一步巩固14．（2007恩施自治州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF,求证：四边形BFDE 是平行四边形.15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是直线AB 、CD 的中点，AF 、DE 相交于点G ，CE 、BF 交于点H ．求证：四边形GEHF 是平行四边形.16．平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，且AF=CE ，,求证：四边形AECF 是平行四边形.17．求证：正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形．H GF A DBCEFADBCEG E DHC FB 黄蓝 紫 橙红 绿 A18．已知点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上， （1）若BE=CF ，如图13(1)．求证：AE=BF 并且AE ⊥BF ；（2）若E 、F 分别是BC 、EF 的中点，如图13(2)，求证：GD=AD ．19．（2007浙江金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平 行四边形的花坛（如图），分别 种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的是（ ）A ．红花、绿花种植面积一定相等B ．紫花、橙花种植面积一定相等C ．红花、蓝花种植面积一定相等D ．蓝花、黄花种植面积一定相等 20.（06盐城）已知ABCD 的面积为4，对角线交于O ，则S △A OB = ．21.若A,B,C 三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 22.平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线aG F EDCBAABCD EFGE FAB C的取值范围是（）A.4<a<16B.4<a<26C. 12<a<20D.8<a<3223.平行四边形中一边长为10cm，那么两条对角线的长度可以是（）A．4cm和6cm B．6cm和8cmC．8cm和12cm D．20cm和30cm24.（07北京市23）如图，已知ABC△．(1)请你在BC边上分别取两点D E，（BC的中点除外），连结AD AE，，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；(2)请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB AC AD AE+>+．25．如图已知ABC△，过顶点A作∠B、∠C的平分线的垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：ED//BC．A B CN MED AB C26．如图，已知BD 、CE 是⊿ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点． 求证：（1）EM=DM ；（2）MN ⊥DE ．27．（1）如图27(1)，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． ①若∠EAF=45º．求证：EF=BE+DF ． ②若⊿AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF=45º，问⊿CEF 的周长是否随⊿AEF 位置的变化而变化？（2）如图27(2)，已知正方形ABCD 的边长为1，BC 、CD 上各有一点E 、F ，如果⊿CEF 的周长为2． 求∠EAF 的度数．F E D C BA图27(1) F E D CBA图27（2）yxA 1OAB C（3）如图27(3)，已知正方形ABCD ，F 为BC 中点 E 为CD 边上一点，且满足∠BAF=∠FAE ．求证：AE=BC+CE ．（五）知识的联系与综合28．已知ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标为(-2,3),(-5,-4),(1,-4)，则D 点坐标为 29. 如图，已知ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(-2,3)，则点C 的坐标为（ ）A 、(-3,2)B 、(-2,-3)C 、(3,-2)D 、(2,-3)第32题图ODCBAy x第29题图θBAOO 'βα第30题图图27（3）FEDCBA第35题图K NM QP D CBA 30．如图，两平面镜αβ、的夹角为θ，入射光线AO 平行于β入射到α，两次反射后的光线O`B 平行于α，则角θ等于 ．31．已知矩形的对角线长为13，周长为34，则这个矩形的面积为 ． 32.（05,潍坊）如图,在直角坐标系中,将长方形OABC 沿OB 对折,使点A 落在A 1处,已知OA=3,AB=1,则点A 1的坐标是（ ）A.（33,22）B.（3,32）C.（33,22）D.（13,22）（六）面积的问题：各种四边形面积的求法和等积变换33．如图，E 为ABCD 边CD 上一点，ABCD 的面积为S ，则△ABE的面积为（ ）A 、SB 、12SC 、13SD 、14S34．如图，在ABCD 中，AD ⊥BD ，∠A=12∠ABC，如果AD=2，那么ABCD 的周长是 ，面积是 ．35．如图，在矩形ABCD 中，过BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN和PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2 (填“>”、“=”或“<”)36．如图，在ABCD 中，点P 在BC 上，PQ ∥BD 交CD 与Q ，则图中和△ABP 面积相等的三角形有 个，它们分别是: ．37．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AB 延长线上一点，DE 交BC 于F ．求证：ABF EFC S S ∆∆=EDCBA第33题图CDBA第34题图QPDCBA第36题图E BFCDA第37题图第39题图 2第39题图138．如图，点E 、F 分别在ABCD 的边DC 、CB 上，且AE=AF ，DG ⊥AF ，BH ⊥AE ，G 、H 是垂足． 求证：DG=BH ．（七）运动变换的思想在本章中的应用．39．（希望杯第9届初二第二试）已知ABCD 的周长为52，自顶点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足，若DE=5，DF=8，求BE+BF 的值．F GHECB DA第38题图图41（3）DAB CFE40．在矩形ABCD 中，AB=3,AD=4,P 是AD 边上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF= ．41．（1）如图41(1)(2)，已知⊿ABD,⊿BCE,⊿ACF 是等边三角形， 求证：四边形ADEF 是平行四边形.(2)如图41(3)，已知⊿ABC,以AB 、AC 为边分别作等边三角形⊿ABD,⊿ACF ，再以AD 、AF 为邻边作平行四边形ADEF ，求证：三角形BCE 是等边三角形.图41（1）DAB CF E图41（2）DABCFE第40题图O FE PDC B A第40题图OFEP DCBAEFCBAD图42（4）（3）如图41(4)，已知⊿ABD,⊿BCE 是等边三角形，A,F 是CE ，EB 上一点，且CA=EB ，求证：四边形ADFC 是平行四边形.42、（2007浙江台州）把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．DC ABGHFE 第42题图DC ABGHFE第42题图43、如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n 后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ．（1）以图中已标字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直．．．．．．．，并说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为2cm ，重叠部分（四边形AEOD ）的面积为243cm 3，求旋转的角度n ．44．四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ． （1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系， 并证明你的猜想．第44题图GDOC FEBA第43题图N MA B CDEF45．（2007淄博）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ， 垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形； （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．46.（05，青岛）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点. ⑴求证：△ABM ≌△DCM;⑵四边形MENF 是什么图形？请证明你的结论； ⑶若四边形MENF 是正方形，则梯形的高与底边BC 有何数量关系？并请说明理由.ABCD MNE第45题图第47题图2第47题图147．（2007四川资阳）如图47(1)，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F . (1) 求证：BP =DP ； (2) 如图47(2)，若四边形PECF 绕点C 旋转，在旋转过程中是否总有BP =DP ？若是，请证明之；若不是，请举出反例；(3) 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之.（八）函数的思想在本章中的运用48、（2007南充改编）等腰梯形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝20，∠C ＝30º． M 、N 同时以相同速度分别从点A 、点D 开始在AB 、AD （包括端点）上运动．（1）设ND 为x ，用x 表示出点N 到AB 的距离，并写出x 的取值范围． （2）设t=10-x ,用t 表示△AMN 的面积．（3）求△AMN 的面积的最大值，并判断取最大值时△AMN 的形状．ADCBMNDCBMNAPOA ''B ''C ''D ''E ''F ''G 'T 'TOOyxxy(1)(2)(3)GA 'B 'C 'D 'E 'F E BA CD49．（2006泰州）将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点， C 在x 轴上，OA=6，OC=10.（1）如图1，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点，求E 点的坐标；（2）如图2，在OA ′、OC ′边上选取适当的点E ′、F ，将△E ′OF 沿E ′F 折叠，使O 点落在A ′B ′ 边上的D ′点，过D ′作D 'G//A ′O 交E ′F 于T 点，交OC ′于G 点，求证：TG=A ′E ′.（3）在（2）的条件下，设T （x ，y ），探求：y 与x 之间的函数关系式.并指出变量x 的取值范围.（4）如图3，如果将矩形OABC 变为平行四边形OA ＂B ＂C ＂，使OC ＂=10， OC ＂边上的高等于6，其他条件均不变，探求：这时T （x ，y ）的坐标y与 x 之间是否仍然满足（3）中所得的函数关系，若满足，请证明之；若不满足，写出你认为正确的函数关系式.第50题图2()1()F ED ABC ABCDEFG FE C ()DCBA50.（08通州22改编）如图，在ABCD 中，AB=8 cm ，AD=6 cm ， ∠DAB=60°，点M 是边AD 上一点，且DM=2 cm ，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，EM 、CD 的延长线交于G ，GF 交AD 于O ，设AE=CF=x ， ⑴试用含x 的代数式表示△CGF 的面积； ⑵当GF ⊥AD 时，求AE 的值.（九）翻折问题（特殊四边形的折叠问题）51.沿特殊四边形的对角线折叠（06.浙江嘉兴）如图，矩形纸片ABCD ，AB=2， ∠ADB=30°，沿对角线BD 折叠（使△ABD 和△EBD 落在同一平面内），则A 、E 两点间的距离为____________.ABC DEF D 'C 'A BCD E F ABCD B ()E KE FGBDACPQABCDNM第51题图 第52题图52.沿特殊四边形的对称轴折叠如图，已知矩形ABCD 的边AB=2，AB ≠BC ，矩形ABCD 的面积为S ， 沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为__________.53.使特殊四边形的对角顶点重合折叠（05，山东威海）如图，梯形纸片ABCD ， ∠B=60°，AD ∥BC ，AB=AD=2， BC=6，将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕为AE ，则CE=___________.第53题图 第54题图 第55题图54.使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠如图，折叠矩形的一边CD ，使点C 落在AB 上的点F 处，已知AB=10cm ， BC=8cm ，则EC 的长为________. 55.使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠（崇文）如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，将梯形对折，使点D 、C 分别落在AB 上的D ′、C ′处，折痕为EF ，若CD=3cm ，EF=4cm ，则AD ′+BC ′=________cm.56.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(1)如图，已知EF 为正方形ABCD 的对称轴，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点处，则∠DKG=_____.第56题图 第57题图EE 'A 'ABC D57.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2)如图，有一块面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边的中点，将C 点折至MN 上，落在点P 的位置，折痕为BQ ，连结PQ. (1)求MP 的长度; ⑵求证：以PQ 为边长的正方形的面积等于13.58.两次不同方式的折叠（06.淄博市）如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠， BC 、BD 为折痕，折叠后AB 与EB 在同一条直线上,则∠CBD 的度数为（ ）A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能确定 59.三次不同方式的折叠（03，山西）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下: 第一步:先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图①;第二步:再把B 点叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B ′，得Rt △AB ′E ，如图②;第三步:沿EB ′线折叠得折痕EF ，如图④. 利用展开图③探究: ⑴△AEF 是什么三角形?证明你的结论;⑵ 对于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形? 并证明之.(4)(3)(2)P B'⑴AB 'C DEB 'E AB C DN MN C C AB ADN EFD ENFQPCBAD 图2图1A BC D（十）动手操作实践60.（2007湖南怀化）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请画出所有可能四边形并写出的它的名称61.（05枣庄,9分）如图1,四边形ABCD 是等腰梯形,AB∥DC,由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形. （1）求出梯形ABCD四个内角的度数;（2）试探究梯形ABCD 四条边之间存在的等量关系,并证明之; （3）现有图1 中的等腰梯形若干个,利用它们你能拼出一个菱形吗?62.（06.宁波）如图,剪四刀把等腰直角三角形分成五块,请用这五块拼成一个平行四边形或梯形（请按1：1的比例画出所拼的图形）第62题图第63题图（十一）动点问题yxO (A)B CD63.如图所示,在矩形ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动, 点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发,用t 表示运动的时间（0≤t≤6）,那么:（1）当t 为何值时,△QAP 为等腰三角形?（2）求四边形QAPC 的面积;提出一个与计算结果有关的结论.64.如图，矩形ABCD 的边AC 在x 轴上，点A 在原点，AB=3，AD=5.若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向运动，同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A-B-C-D 的路线运动，当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也停止运动.（1）求P 点从A 点运动到D 点所需的时间； （2）设P 点运动时间为t （秒）；①当t=5时，求出点P 的坐标；②若△OAP 的面积为S ，试求S 与t 之间的函数关系式. （并写出相应的自变量t 的取值范围）.(1)(2)(3)FE CBACBACBA（十二）开放探究65.（2005 资阳）如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图1矩形ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”.显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形′只有一个.(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”. (2)如图2，若△ABC 为直角三角形，且∠C=90°，在图2中画出△ABC 的所有“友好矩形” ，并比较这些矩形面积的大小.(3)若△ABC 是锐角三角形，且BC>AC>AB ，在图3中画出△ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并证明之.。