2.2.2 反证法
双基达标限时20分钟
1.实数a, b, c不全为0等价于
()
A. a, b, c均不为0
B. a, b, c中至多有一个为0
C. a, b, c中至少有一个为0
D. a, b, c中至少有一个不为0
解析不全为0即至少有一个不为0,故选D.
答案 D
2.下列命题错误的是
()
A.三角形中至少有一个内角不小于60°
B.四面体的三组对棱都是异面直线
C.闭区间［a, b］上的单调函数f(x)至多有一个零点
D.设a、b€ Z,若a、b中至少有一个为奇数，则a+ b是奇数
解析a+ b为奇数？ a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误. 答案 D
1 1 1
3.设x, y, z都是正实数，a = x+ —, b=y+一，c= z+ 一，则a, b, c三个数y z
x
().
A.至少有一个不大于2 B .都小于2
C.至少有一个不小于2 D .都大于2
解析若a, b, c都小于2,则a+ b+ c<6①，
1 1 1
而a+ b+c=x+_+y+_+z+-》6②，
x J y z
显然①，②矛盾，所以C正确. 答案 C
4 .命题“△ ABC中，若A>B,则a>b”的结论的否定应该是____________ .
答案a< b
5•命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是
答案 至少有两个内角是直角
6 •设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，
AC 与平面SOB 不垂直.
证明假设AC 丄平面SOB,如图， •••直线SO 在平面SOB 内，
••• SO 丄 AC.
v SO 丄底面圆O ,： SO 丄AB. ••• SO 丄平面SAB.
•••平面SAB//底面圆O.
这显然出现矛盾，所以假设不成立，即
综合提咼 7. 已知an l ，a? a b? B,若a ，b 为异面直线，则
().
A. a ，b 都与I 相交
B. a ，b 中至少有一条与I 相交
C. a ，b 中至多有一条与I 相交
D. a ，b 都不与I 相交
解析 逐一从假设选项成立入手分析，易得 B 是正确选项，故选B. 答案 B
8. 以下各数不能构成等差数列的是
().
A . 3,4,5 B. .'2， . 3, 5 C . 3,6,9
D. ‘2, 2
2
解析 假设.'2, 3 ：5成等差数列，则2 ：3= '2 + 5 即12= 7 + 2 10, 此等式不成立，故.;2, '3, ：5不成等差数列.
答案 B
9. “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是 解析 “任何三角形”的否
定是“存在一个三角形
AC 与平面SOB 不垂直.
限时25分钟
“至少有两个”的否
定是“最多有一个”.
答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
10•用反证法证明命题“若a2+ b2= 0,则a, b全为0(a、b为实数)”，其反设为________ •
解析“a, b全为0”即是“a = 0且b = 0”，因此它的反设为“a^0或0”.
答案a, b不全为0
11.设二次函数f(x) = ax2+ bx+ c(a^ 0)中，a、b、c 均为整数，且f(0), f(1)均
为奇数.求证：f(x) = 0无整数根.
证明设f(x) = 0有一个整数根k,则
ak2+ bk= — c.①
又••• f(0) = c, f(1) = a+ b+ c均为奇数，
••• a+ b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；
当k为奇数时，设k = 2n+ 1(n€ Z),
则ak2+ bk= (2n+ 1)(2na+ a+ b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x) = 0无整数根.
x2、，
12.(创新拓展)已知函数f(x)= ，如果数列｛a n｝满足a〔 = 4, a n+1 = f(a n),求
2x一 2
证：当n》2时，恒有a n<3成立.
a
证明法一■(直接证法)由a n+1 = f(a n)得a n+1= -,
2a n — 2
丄=二+ 2 = —2丄-丄2 +孔1
a n+1 a n a n a n 2 2 2'
--a n+1 <0 或a n+1》2；
(1)若a n+1<0,贝U a n+1<0<3,
•••结论“当n》2时，恒有a n<3”成立;
(2)若a n+1》2,
2
a n —a n+ 2a n —a n a n— 2
则当n》2 时，有a n+1 —a n= - —a n= = w0,
2a n— 2 2 a n— 1 2 a n — 1
a2
• a n+1W a n,即数列｛a n｝在n》2时单调递减;
a 2
16 8
<3 2a i -2 8-2 3 °，
可知a n < a 2<3，在n 》2时成立.
综上，由（1）、⑵知：当n 》2时，恒有a n <3成立. 法二（用反证法）假设a n 》3（n 》2），
a
2
则由已知得 a n +1 = f （a n ）= ~ 2，
•••当n 》2时, 这与假设矛盾, •••当n 》2时, a n <3;
故假设不成立， 恒有a n <3成立.
•••当n 》2
时,
亍—20^—2，1+a n 二1 仝 21+2— 4<1?(v
—1》3- 1),
又易证a n >0， •••当 n>2 时, •••当 n 》2 时，a n +
i <a n ,
而当n = 2时, a n <a n -i <…<a 2； a2 16
-8<3, a 2 —
— — c 2a i - 2 8-2 3
由a 2=。