零点部分
极点部分
极点的作用：决定系统的稳定性和因果性
A( z ) 0 即极点不在单位圆上
因果性：称x(n)是e(n)的因果函数，若
⑴ hi
i

⑵x(n) hi e(n i )
i 0

即因果系统要求极点在单位圆以内，A(z)的根|z|<1
零点的作用：决定系统的可逆性，即
1 z 1 的无数多项 中含有 A( z )
无限冲激响应(IIR)系统
白噪声中的AR过程： x(n) s(n) v(n)
v(n) ~ WN(0, v2)
B( z )
2
Px ( ) Ps ( ) Pv ( )
2 v2 w 2 A( z) A( z 1 ) z e j A( z)
n 0
N 1
2
谱窗
功率谱曲线平滑, 但分辨率下降
Px ( ) Rx (k ) w(k )e jkT
要提高分辨率，使用参数化的谱估计！ 经典谱估计：使用FFT的谱估计 现代谱估计：参数化谱估计
3.1 ARMA谱估计与系统辨识

平稳ARMA过程
离散随机过程 {x(n)} 服从线性差分方程：

ARMA功率谱估计的两种线性方法
Cadzow谱估计子
B( z ) B( z 1 ) N ( z ) N ( z 1 ) Px ( z ) 1 A( z ) A( z ) A( z ) A( z 1 )
2
N ( z) A( z 1 ) N ( z 1 ) A( z) 2 B( z) B( z 1 )
A( z ) x(n) B( z )e(n)
则功率谱
e(n)～N (0, 2 )
Px ( ) 2
其中
B( z ) A( z )
2
z e jw
B( z ) B( z 1 ) 2 A( z ) A( z 1 )
z e jw
A( z 1 ) 1 a1 z a p z p A* ( z ) B( z 1 ) 1 b1 z bq z q B* ( z )
若A(z)和B(z)无可对消公共因子，且 a p 0 ，则AR参数 a1 ,, a p 可由p个修正Yule-Walker方程唯一确定或辨识。
a R (l i) R (l )，
i 1 i x x
p
l q 1,, q p
Rx (q 1) R (q 2) x Rx (q p )
x ( n)
i
h e( n i )
i

Rx (k ) E{x( n) x* ( n k )}
* E hi e( n j ) hi e ( n k i ) i 0 j 0
hi h j E e(n j )e* (n k i )
i 0 i j 0 j
p
q
ห้องสมุดไป่ตู้
n
a R (l i) a h h
2 i 0 i x i 0 i j 0 j

j l i

2
h b
j 0 j

j l
a R (l i) 0，
i 0 i x
p
l q
修正Yule-Walker方程(MYW方程)
定理(AR参数的可辨识性)：
A = UΣV H 其中U为m m酉矩阵，V为n n酉矩阵。
酉矩阵： -1 = UH U
2 2 2 Σ diag(11, 22 ,, nn )
主奇异值：p个大的奇异值（p个信号分量的能量）
次奇异值：其它小奇异值（扰动或误差的能量）
信号与噪声的分离： 准则一：归一化比值
1 v(k ) 2 2 1/ 2 11 nn
x(n) ai x(n i) e(n) b j e(n j )
i 1 j 1
AR参数
MA参数
a x(n i) b e(n j)
i 0 i j 0 j
p
q
e(n) ~ N (0, 2 ) 后向移位算子：z j x(n) x(n j )
第三章
现代谱估计
清华大学自动化系 张贤达 zxd-dau@ 电话：62794875
经典谱估计

样本 直接法
假设已零均值化， 2k N
x(0), x(1),, x( N -1)
周期函数
N 1 n 0 jnT
X N ( ) x(n)e

Px ( )
i 0 j 0


hi h j 2 (k i j )
i 0 j 0
BBR公式： Rx (k )
2
h h
i 0

i ik
BBR公式 Rx (k )
p p
2
h h
i 0

i ik
a h( n i ) b ( n j ) b
2 11 2 kk 1/ 2
若阈值=0.995，v(k)>阈值的最小整数k定为矩阵A的“有效秩”。
准则二：使用归一化奇异值 kk kk ，且 11 1 11 kk <某个很小的阈值(0.05)的最小整数k定为有效秩。

AR阶数确定的信息量准则法
N p q 1 ˆ2 FPE ( p, q) wp N p q 1
p
p
k 0,1,, q
Kaveh谱估计子： Px ( )
ck z k k q
q
1 i 1 ai z
p
i
2
z e jw

ARMA功率谱密度的特例
A( z ) x(n) B( z )e(n)

特例一：MA过程
A( z ) 1
i
x(n) B( z )e(n)
H 1 ( z )
是否存在。
1 A( z ) H ( z ) B( z )
可逆性：称e(n)是x(n)的可逆函数，若
(1)存在序列 i ，并满足
(2)
i

i 0

i

——可逆系统的稳定性 ——可逆性条件
e( n ) i x ( n i )

ARMA过程的功率谱密度
Rx ( q 1 p) 1 0 Rx ( q 1) Rx ( q 2 p) a1 0 Rx (q p 1) Rx (q) a p 0 Rx (q)
又 其中
Px ( z )
k
Cx ( k ) z

k
(k ) z
k 0

k
(k ) z k
k 0

1 Cx (k ), (k ) 2 Cx (k ),
k 0 其他
则
i N ( z ) i 0 ni z (k ) z k A( z ) p ai z i k 0 p i 0
若构造：
Re
Rx (qe 1) R (q 2) x e Rx (qe M ) Rx (qe ) Rx (qe 1 pe ) Rx (qe 1) Rx (qe 2 pe ) Rx (qe M 1) Rx (qe M pe )
1 2 X N ( ) N
间接法
1 N 1 Rx (k ) x(n) x(n k ) N n 0
Px ( ) Rx (k )e jkT
n 0
N 1
周期图法
数据窗
有偏估计,平滑性差
加窗函数
1 Px ( ) N
N 1 k 0
x(n)c(n)e jnT


修正Yule-Walker方程
a x(n i) b e(n j)
i 0 p i j 0 q j
p
q
令e(n) (n) 令x(n) h(n)
n
a h( n i ) b ( n j ) b
i 0 i j 0 j
等价
高斯白噪 N (0, 2 )
x ( n)
k
e(k )h

nk
e(n) hn
满足ARMA模型的条件： (1)冲激响应系数必须绝对可求和： hk (系统稳定) (2)A(z)和B(z)无公共因子(p,q唯一)
k
(3)系统是物理可实现的(因果系统)
B( z ) H ( z) A( z )
p
ai z i ，比较系数得 两边同乘 i 0
nk ai (k i )
i 0
p
k 0,1,, p
ai 所以，Cadzow谱估计子的关键：估计AR阶数p和AR参数
Kaveh谱估计子
B( z ) B( z ) Px ( z ) 1 A( z ) A( z ) A( z ) A( z 1 )
i 1 p
线 谱 加性白噪声中的可预测过程： x(n) s(n) v(n)
x(n) ai x(n i) v(n) a j v(n j )
i 1 j 1
p
p
特殊的ARMA
所以：

白噪声中的AR过程 = ARMA过程 白噪声中的可预测过程 = 特殊的ARMA过程
B( z ) H ( z ) hi z 1 b1 z 1 bq z q A( z ) i