一题多解专题六:等差数列前n 项和的最值问题 求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法
(1)函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2
,通过配方或借助图象求
二次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法:
①0,01<>d a 时,满足⎩⎨
⎧≤≥+0
1n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ;
②当0,01><d a 时,满足⎩⎨⎧≥≤+00
1
n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S .
例、等差数列}{n a 前n 项和为n S ,已知1131,13S S a ==,当n S 最大时,n 的值是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解析:选C.方法一:由113S S =得01154=+++a a a ,根据等差数列性质可得087=+a a , 根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到0,087<>a a ,故n=7 时,n S 最大.
方法二:由113S S =可得d a d a 55113311+=+,把131=a 代入得2-=d ,故
n n n n n S n 14)1(132
+-=--=,根据二次函数性质,当n=7时,n S 最大.
方法三:根据131=a ,113S S =,知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数 列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项 和是关于n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,当113S S =时,只有 72
11
3=+=n 时,n S 取得最大值. 针对性练习:
1.已知在等差数列}{n a 中,311=a ,n S 是它的前n 项的和,2210S S =. ①求n S ; ②这个数列前多少项的和最大,并求出这个最大值. 解析:①∵102110a a a S ++= ,222122a a a S ++= ,又2210S S =,
∴0221211=++a a a ,则031212211=+=+d a a a ,又311=a ,2-=∴d
∴21322
)
1(n n d n n na S n -=-+
=。
②方法一:由①中可知256)16(322
2+--=-=n n n S n ,
∴当n =16时,n S 有最大值,n S 的最大值是256. 方法二:由1--=n n n S S a ,可得332+-=n a n . 由0332≥+-=n a n a ,得233≤
n ;由03121≤+-=+n a n ,得2
31≥n n ; 又n 为正整数,所以当n=16时,n S 有最大值256. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围.(2)求{a n }前n 项和S n 最大时n 的值.
解析:(1)∵S 12>0,S 13<0,∴111
12a 66d 0,
13a 78d 0,a 2d 12.
+>⎧⎪
+<⎨⎪+=⎩ ∴-247<d<-3. (2)由()
11313713a a S 13a 0,2
+=
=<知a 7<0, S 12=6(a 1+a 12)=6(a 6+a 7)>0,知a 6>0, 又∵d <0,∴n ≤6时,a n >0,n ≥7时,a n <0, ∴S 6最大,即n=6. 3.已知数列{a n }是等差数列,且a 2=-1,a 5=5.
(1)求{a n }的通项a n . (2)求{a n }前n 项和S n 的最小值.
解析:(1)设{a n }的公差为d ,由已知条件,11a d 1,
a 4d 5+=-⎧⎨+=⎩,解得a 1=-3,d=2.
所以a n =a 1+(n-1)d=2n-5. (2)S n =()()2
21n n 1na d n 4n n 242
-+
=-=--. 所以n=2时,S n 取到最小值-4.。