高考高中数学考点归纳第一部分 集合1. 自然数集:N 有理数集:Q 整数集:Z 实数集:R 2 . φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空真子集有2n–2个.第二部分 函数与导数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法(即求最大(小)值)：①利用函数单调性 ；②导数法③利用均值不等式 2222b a ba ab +≤+≤ 3．函数的定义域求法: ① 偶次方根,被开方数0≥ ②分式,分母0≠③对数,真数0>,底数0>且1≠ ④0次方,底数0≠⑤实际问题根据题目求 复合函数的定义域求法:① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再综合各段情况下结论。
5．函数的奇偶性:⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．． ⑵)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-⇔⇔图象关于原点对称；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔图象关于y 轴对称.⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f⑷在关于原点对称的单调区间：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 6．函数的单调性: ⑴单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >； （记忆方法：同不等号为增，不同为减，即同增异减）⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号(五步:设元,作差,变形,定号,单调性)；②导数法（三步:求导,解不等式()0,()0,f x f x ''><单调性）7．函数的周期性：(1)周期性的定义：对定义域的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。
如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的最小正周期：①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y (3)与周期有关的结论：)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 28．指数与指数函数 (1) 指数式有关公式:①m na=1m nm naa-=（以上0,,a m n N *>∈，且1n >）.,||,a na n⎧=⎨⎩为奇数为偶数④n a=(2)指数函数指数函数：xy a=,1a>在定义域是单调递增函数；01a<<在定义域是单调递减函数。
注：以上两种函数图象都恒过点（0，1）9．对数与对数函数⑴对数：①bNNaab=⇔=log；②()NMMNaaalogloglog+=；③NMNMaaalogloglog-=；④log logmnaanb bm=.⑤对数的换底公式:logloglogmamNNa=.⑥对数恒等式:log a Na N=.(2)对数函数：②对数函数：logay x=,1a>在定义域是单调递增函数；01a<<在定义域是单调递减函数；注：以上两种函数图象都恒过点（1，0）③反函数：xy a=与logay x=互为反函数。
互为反函数的两个函数的图象关于y x=对称.10．二次函数：⑴解析式：①一般式：cbxaxxf++=2)(；②顶点式：khxaxf+-=2)()(，),(kh为顶点；③零点式：))(()(21xxxxaxf--=（a≠0）.(2)二次函数cbxaxy++=2的图象的对称轴方程是abx2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--abacab4422，。
(3)二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③判别式；④与坐标轴交点；⑤端点值；⑥两根符号。
11．函数图象：⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法 ⑵图象变换：① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”； ② 对称变换：ⅰ))(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ))(x f y =x −−→轴)(x f y -=；ⅲ) )(x f y =y −−→轴)(x f y -=；ⅳ))(x f y =−→−=x y ()x f y =；③ 翻折变换：ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）；ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）；12．函数零点的求法：⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)至少有一个零点。
12．导数：⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000⑵常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nxx ；'()1x =；2'()2x x =；3'2()3x x =；'211()x x =-；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 。
⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2vv u v u vuv u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± (4)导数的应用： ①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数判断函数单调性：i ）)(0)(x f x f ⇒>'是增函数；ii ）)(0)(x f x f ⇒<'为减函数；iii ）)(0)(x f x f ⇒≡'为常数；③利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根； ⅲ）列表得极值。
④利用导数求最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形1． ⑴角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，1801π=弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：22121R lR S θ==。
2．三角函数定义:角α终边上任一点（非原点）P ),(y x ,设r OP =|| 则：,cos ,sin r x r y ==ααxy=αtan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c ”） 4．诱导公式：()k k Z πα±∈ , 2kπα± (k 为奇数)记忆规律:“分变整不变，符号看象限”如cos sin 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭,()ααπcos cos -=-. 5. 同角三角函数的基本关系：x xxx x tan cos sin ;1cos sin 22==+ 6. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： ①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.②sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,tan b aϕ= ).特别: sin cos 2sin()4πααα+=+3sin cos 2sin()6πααα+=+7二倍角公式：① αααcos sin 22sin =.2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±② 2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂公式）. 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==（降幂公式）. ③22tan tan 21tan ααα=- 8．三角函数：函 数sin y x = cos y x =tan y x =图象作图：五点法作图：五点法作图：三点二线定义域 （－∞，＋∞） （－∞，＋∞） {|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域［－1，1］［－1，1］（－∞，＋∞）9 常用角的三角函数10正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的性质及研究思路：① 最小正周期2T πω=，值域为[,]A A -.② 五点法图：把“x ωϕ+”看成一个整体，取30,,,,222x ππωϕππ+=时的五个自变量值，相应的函数值为0,,0,,0A A -，描出五个关键点，得到一个周期的图象.③ 三角函数图象变换路线：sin y x =ϕ−−−−−→左移个单位sin()y x ϕ=+ ω−−−−−→1横坐标变为倍sin()y x ωϕ=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. 或：sin y x = ω−−−−−→1横坐标变为倍sin y x ω=ϕω−−−−−→左移个单位sin ()y x ϕωω=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. ④ 单调性：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的增区间，把“x ωϕ+”代入到sin y x =增区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈，即求解22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈.⑤求闭区间[,]a b 上的最值: 由x 的取值围[,]a b 求出x ωϕ+的取值围,然后看sin y x =在x ωϕ+的取值围上的最值分别是什么,此最值即为sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>在闭区间[,]a b 上的最值 ⑥对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得; =x对称中心：由x k ωϕπ+=得))(0,(Z k k ∈-ωϕπ； ⑦求解析式第一步:由最大(小)值求A 第二步:由最小正周期2T πω=求ω第三步:确定ϕ.方法:代入法或者五点法.⑧整体思想：把“x ωϕ+”看成一个整体，代入sin y x =与tan y x =的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.11．正、余弦定理： ⑴正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 2是ABC ∆外接圆直径 ）⑵余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=；bc a c b A 2cos 222-+=。