0.0000
θ4/° 45
手爪姿态 45.0000 45.0000 0.0000% 关节 4 角度 45.0000 0.0000
θ4/° -90
手爪姿态 -90.0000 -90.0000 0.0000% 关节 4 角度 -90.0000 0.0000
第四组 参数值
正解 结果
计算 实验 偏差 值
反解 结果
机械臂杆件链的最末端是机器人工作的末端执行器(或者机械手)，末端执行 器的位姿是机器人运动学研究的目标，对于位姿的描述常有两种方法：关节坐标 空间法和直角坐标空间法。
关节坐标空间： 末端执行器的位姿直接由各个关节的坐标来确定，所有关节变量构成一个关 节矢量，关节矢量构成的空间称为关节坐标空间。图 1-1 是 GRB400 机械臂的关 节坐标空间的定义。因为关节坐标是机器人运动控制直接可以操纵的，因此这种 描述对于运动控制是非常直接的。
表 1-1 连杆参数表
其中连杆长 l1=200mm，l2=200mm，机器人基坐标系为 O-X0Y0Z0。根据上面的 坐标变换公式，各个关节的位姿矩阵如下：
cos3 sin 3 cos 3 sin 3 sin 3 0
23T


sin

3
0

cos3 cos 3 sin 3
建立坐标系如下图所示
连杆坐标系{i }相对于{ i −1 }的变换矩阵
可以按照下式计算出，其
中连杆坐标系 D-H 参数为 齐坐标变换矩阵为：
由表 1-1 给出。
其中
描述连杆 i 本身的特征； 和 描述连杆 i− 1 与 i 之间
的联系。对于旋转关节，仅 是关节变量，其它三个参数固定不变；对于移动
关节，仅 是关节变量，其它三个参数不变。
关节 1 角度 90.0000 90.0000
0.0000%
θ2/° 45
直角坐标 Y 341.4214 341.4213
0.0000%
关节 2 角度 45.0000 44.9996
0.0009%
θ2/° 40
直角坐标 Y 353.2089 353.2089
0.0000%
关节 2 角度 40.0000 40.0000
0.0012%
关节 1 角度 60.0000 59.9994
0.0010%
θ2/° 60
直角坐标 Y 300.0000 299.9996
0.0001%
关节 2 角度 60.0000 60.0000
0.0000%
θ2/° 30
直角坐标 Y 273.2051 273.2045
0.0002%
关节 2 角度 30.0000 29.9996
机器人学基础
实验报告
中南大学机电工程学院机械电子工程系 2016 年 10 月
一、实验目的
1．了解四自由度机械臂的开链结构； 2．掌握机械臂运动关节之间的坐标变换原理； 3．学会机器人运动方程的正反解方法。
二、实验原理
本实验以 SCARA 四自由度机械臂为例研究机器人的运动学问题.机器人运动 学问题包括运动学方程的表示,运动学方程的正解、反解等,这些是研究机器人动 力学和机器人控制的重要基础,也是开放式机器人系统轨迹规划的重要基础。
直角坐标 Z 10.0000 9.9998
0.0020%
关节 3 位移 10.0000 9.9998
0.0020%
d3/mm -20
直角坐标 Z -20.0000 -20.0000
0.0000%
关节 3 位移 -20.0000 -20.0000
0.0000%
θ4/° 120
手爪姿态 120
119.9997 0.00025% 关节 4 角度 -60 或 120
0.0000%
关节 4 角度 45.0000 0.0000
θ4/° -60
手爪姿态 -60.0000 -59.9998
0.0003%
关节 4 角度 -60.0000 0.0000
六、实验结果分析与讨论
0.0000%
d3/mm 10
直角坐标 Z 10.0000 9.9998
0.0020%
关节 3 位移 10.0000 9.9996
0.0040%
d3/mm -10
直角坐标 Z -10.0000 -9.9998
0.0020%
关节 3 位移 -10.0000 -9.9998
0.0020%
θ4/° 45
手爪姿态 45.0000 45.0000
器人运动学逆解的数目决定于关节数目、连杆参数和关节变量的活动范围。通常 按照最短行程的准则来选择最优解，尽量使每个关节的移动量最小。
解法：逆运动学的解法有封闭解法和数值解法两种。在末端位姿已知的情况 下，封闭解法可以给出每个关节变量的数学函数表达式；数值解法则使用递推算 法给出关节变量的具体数值，速度快、效率高，便于实时控制。下面介绍 D-H 变 化方法求解运动学问题。
0.00013%
θ2/° 20
直角坐标 Y 370.1666 370.1661
0.0001%
关节 2 角度 20.0000 20.0000
0.0000%
d3/mm 20
直角坐标 Z 20.0000 20.0000
0.0000%
关节 3 位移 20.0000 20.0000
0.0000%
d3/mm 10
图1-1 机器人的关节坐标空间
图1-2 机器人的直角坐标空间法
直角坐标空间：
机器人末端的位置和方位也可用所在的直角坐标空间的坐标及方位角来描
述，当描述机器人的操作任务时，对于使用者来讲采用直角坐标更为直观和方便
（如图 1-2）。
当机器人末端执行器的关节坐标给定时，求解其在直角坐标系中的坐标就是
正向运动学求解（运动学正解）问题；反之，当末端执行器在直角坐标系中的坐
%T矩阵的第四列为直角坐标
—————————————————————————————————————————
反解程序：
function X=ydfj(A,a1,a2) %A为齐次坐标变换矩阵，a1，a2分别为杆长l1,l2
l1=a1; l2=a2; n1=A(1,1);n2=A(2,1);n3=A(3,1); o1=A(1,2);o2=A(2,2);o3=A(3,2); a1=A(1,3);a2=A(2,3);a3=A(3,3); p1=A(1,4);p2=A(2,4);p3=A(3,4); M=(l1^2-l2^2+p1^2+p2^2)/(2*l1*sqrt(p1^2+p2^2)); m1(1)=atan(M/sqrt(1-M^2))-atan(p1/p2);% m1(2)=atan(-M/sqrt(1-M^2))-atan(p1/p2); m2=atan(sqrt(p1^2+p2^2)*cos(m1+atan(p1/p2))./(sqrt(p1^2+p2^2)*sin(m1+atan(p1/p2) )-l1)); t3=[p3,p3]; m4=-m2+asin(n2*cos(m1)-n1*sin(m1)); X=[m1;m2;t3;m4];
标给定时求出对应的关节坐标就是机器人运动学逆解（运动学反解）问题。运动
学反解问题相对难度较大，但在机器人控制中占有重要的地位。 机器人逆运动学求解问题包括解的存在性、唯一性及解法三个问题。 存在性：至少存在一组关节变量来产生期望的末端执行器位姿，如果给定末
端执行器位置在工作空间外，则解不存在。 唯一性：对于给定的位姿，仅有一组关节变量来产生希望的机器人位姿。机
l1
令第二行第四个元素对应相等，可得： d3 pz 令第四行第三个元素对应相等，可得：
所以，
注意：关节运动范围：
θ1 0-180° θ2 0-100° d3 ±40mm θ4 ±170°
三、实验步骤
（本实验由老师演示） 步骤 1．检查实验系统各部分的信号连接线、电源是否插好，完成后打开伺 服驱动系统的电源开关。 步骤 2．运行 GRBserver 程序，出现以下程序界面。
运动学逆解：通常可用未知的连杆逆变换右乘上式：
令两式对应元素分别相等即可解出
。
其中
M

l12

l
2 2

p
2 x

p
2 y
2l1
p
2 x

p
2 y
将上式回代，可得，
2 arctan
p
2 x

p
2 y
cos(1

arctan
px py
)
p
2 x

p
2 y
sin(1

arctan
px py
)
cos3 sin 3
0

cos 3
d
3

0
0
0
1
运动学正解：各连杆变换矩阵相乘，可得到机器人末端执行器的位姿方程（正 运动学模型）为：
其中：z 轴为手指接近物体的方向，称接近矢量 a （approach）；y 轴为 两手指的连线方向，称方位矢量 o（orientation）；x 轴称法向矢量 n（normal）， 由右手法则确定，n=o*a。p 为手爪坐标系原点在基坐标系中的位置矢量。
计算 实验 偏差 值
θ1/° 45
直角坐标 X 141.4214 141.4213
0.0000%
关节 1 角度 45.0000 45.0000
0.0000%
第五组 参数值
正解 结果
计算 实验 偏差 值
反解 结果
计算 实验 偏差 值
θ1/° 90