（4）服务强度ρ。每个服务台单位时间内平均服务 时间。
其中Ls、Lq、ws和wq通常称之为重要的运行指标 。它们取值越小，说明系统队长越短，顾客等候时 间越少，因此系统的性能就越好。
我们在稳态下，讨论单服务台排队系统和多服务台 排队系统。
9.2单服务台排队系统分析
本节讨论输入过程为泊松流，服务时间 服从负指数分布的单服务台的排队系统。 其中有：
9.1排队论的基本概念
排队论是通过对服务对象到来及服务时 间的统计研究，得出这些数量指标（等 待时间、排队长度、忙期长短等）的统 计规律，然后根据这些规律来改进服务 系统的结构或重新组织被服务对象，使 得服务系统既能满足服务对象的需要， 又能使服务机构的费用最经济或某些指 标最优。
9.1.1排队过程的一般表示
第9章 排队论
南京航空航天大学
排队是我们在日常生活中经常遇到的现象，例如 病人到医院看病、客户到银行汇款、城市拥堵 路段的汽车排队、电话占线等。排队现象产生 的原因之一是要求服务的数量超过了服务机构 的容量，也就是有部分的服务对象不能立即得 到服务；原因之二是系统服务对象到达和服务 时间均存在随机性。前者可以通过增加服务机 构的容量来解决排队现象，但无休止地增加服 务机构的容量会导致追加投资并可能发生系统 资源长时间闲置。后者，也就是系统服务对象 到达和服务时间均存在随机性，致使无法准确 预测估算排队拥堵的具体情况。所以，在服务 系统中的排队现象几乎不可避免。
标准的M/M/1/∞/∞系统； 有限等待空间系统M/M/1/N/∞； 顾客为有限源系统M/M/1/∞/m。
9.2.1 标准的M/M/1/∞/∞系统
M/M/1系统状态转移图:
系统状态从0转移到l的转移率为λP0， 而系统状态从1转移到0的转移率为μP1。
因此对状态0而言，必须满足以下平衡 方程：
对系统的任何状态n 1，系统状态从 n转移到n+1和n-1的转移率为 λPn+μPn，而系统状态从n+1和n-1 转移到n的转移率为μPn+1+λPn-1。
E
D2
L
…
Dn
L
单队列多服务台（并列）
D1
D’1 L
D2
D3
D’2 L
多服务台混合形式
服务台的服务时间一般也分成确定型和随机型 两种。例如，自动冲洗汽车的装置对每辆汽车 冲洗（服务）时间是相同的，因而是确定型的。 但大多数情况下服务时间是随机型的，对于随 机型的服务时间，我们需要知道服务时间V的概 率分布。如果服务时间V服从负指数分布，则其 分布函数是
常用于分析排队系统效率的有以下指标：
平均队长Ls和平均排队长Lq 平均逗留时间ws和平均等待时间wq 忙期和闲期 服务强度ρ
（1）平均队长Ls和平均排队长Lq。平均队 长Ls指一个排队系统的顾客平均数（其中包 括正在接受服务的顾客）。而平均排队长Lq 则是指系统中等待服务的顾客平均数；
如M/M/1/ ∞ / ∞ / FCFS:表示顾客到达的时间间 隔服从负指数分布、服务时间服从负指数分布
、单服务台、系统容量为无限、顾客源为无限
、排队规则为先来先服务的排队模型。我们这
一章的模型只讨论先到先服务的情形，因此后 面都略去第六项。
9.1.3排队系统的衡量指标
构建了排队系统的模型后，需要对排队系统 的运行效率和服务质量进行研究和评估，以确定 系统的结构是否合理。任何排队系统开始运行时， 其状态在很大程度上取决于系统的初始状态和运 转的时间。但系统运行了一段时间后，系统将进 入稳定状态（即稳态，系统运行充分长时间后， 初始状态的影响基本消失，系统状态不再随时间 变化）。对排队系统进行分析主要是指对其稳定 状态的运行效率指标进行分析。
式中μ为平均服务率，1/μ为平均服务时间。
9.1.2排队系统的分类
Kendall符号的形式X/Y/Z。各符号的含 义如下：
X指顾客相继到达间隔时间的分布 Y为服务时间的分布 Z为并列的服务台数目
表示相继到达的间隔时间和服务时间分布符号常用以下符 号表示
M：负指数分布，表示每个顾客接受服务的时间相互独立， 具有相同的负指数分布；
9.2.2有限等待空间系统M/M/1/N/∞
对M/M/1/N/∞来说，系统状态是有限
集合，即 :
M/M/1/N/∞排队系统的状态转移图如
下：
在稳态条件下，可得如下状态平衡方 程：
得
Pn
n
P0
， n 1,2,, N
由于 所以
由此可以计算系统的有关运行指标：
(1)平均队长Ls
当 N （ 1) 时
当等候空间有限、且ρ<1时，真正进入服务 系统的顾客平均输入率小于顾客平均到达 率λ的有效到达率为 。
由于系统容量为N，所以
故
1-P0 =
（2）平均排队长 （3）平均逗留时间 （4）平均等候时间
例.单人理发馆有4个椅子供人们排队等 待理发。当4个椅子都坐满时，后来的 顾客就自动离开。若顾客按泊松流到达 ，平均间隔时间20分钟，顾客理发时间 服从负指数分布，平均理发时间为15分 钟。试求任一顾客的平均等待时间等相 关参数。
排队系统示意图
一般的排队系统有三个基本组成 部分：
①输入过程
②排队及排队规则
③服务机构
① 输入过程
主要包括：
顾客相继到达系统的时间间隔 顾客到达系统的方式（顾客可能单个
到达，也可能成批到达） 顾客源情况
输入过程说明顾客按怎样的规律到达服务系统
的。它可用一定时间内顾客到达的数量或前后两 个顾客相继到达的间隔时间来描述。按照一定时 间内顾客到达数量或前后两个顾客相继到达的间 隔时间类型的不同，输入过程可以划分为确定型 和随机型两种：如在自动装配线上装配的各部件 就必须是按确定时间间隔到达装配点，定期的航 班、长途客车等都是确定型的；顾客到商店购买 商品、到医院就诊的病人等都是随机型的。在排 队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。
由平衡条件可得：
令 可解得
Pn nP0 ， n 1,2,
在 ρ<1的条件下，标准M/M/l系统的重要运行指 标如下：
(1)在平衡条件 下系统中顾客数为n 的概率Pn
由于
，所以
故
Pn (1 ) n ， n 1,2,
(2)系统在平稳状态下的平均队长(包括等待
和接受服务的顾客数)Ls为：
或
(3)系统在平稳状态下平均排队长(系统排队
9.3多服务台排队系统分析
对于多服务台排队系统，本节假定：
（1）N个完全相同的服务台并联工作；
（2）只有一队顾客； （3）顾客随机到达；
（4）随机的服务时间长度； （5）服务规则为“先到先服务”； （6）系统可以达到稳定状态； （7）对于队列中的顾客数量没有限制； （8）对于接受服务的顾客数量没有限制； （9）所有到来的顾客都等待服务。
et
t 0
b(t)
0
t 0
负指数分布描述的随机现象对于过去的事件具有无记忆性， 即Markov性，因此用Markov开头字母M表示；
D：定长分布，表示每个顾客接受服务的时间是一个确定 的常数；
Ek：k阶爱尔朗分布〔Erlang)，表示每个 顾客接受服务的时间服从k阶爱尔朗分布，
其密度函数为
当k=1时爱尔朗分布就是负指数分布；当 k增加时，爱尔朗分布逐渐变为对称的。 当k>30时，爱尔朗分布近似于正态分布。
G：一般随机分布。
例如M/M/l表示到达的间隔时间服从负指数 分布，服务时间也服从负指数分布的单服务 台排队系统模型。M/D/2表示到达间隔时间 服从负指数分布，而服务时间为定长分布的 双服务台排队系统模型。
1971年有关排队论符号的标准化会议将 Kendall符号扩展为X/Y/Z/A/B/C，其中A指排 队系统的容量，取非负整数或∞；B表示顾客源 的数目，取非负整数或∞；C表示服务规则（先 来先服务FCFS、后来先服务LCFS，具有优先 权的服务PS，随机服务SIRO等）。
排队论的系统输入还要关注顾客源是有限集还是无 限集。如工厂内待修的机器数显然是有限集，而到某 航空售票处购票的顾客源则可以认为是无限的。
顾客的到达可以是相互独立的，也就是说，以前的 到达情况对以后顾客的到达没有影响，否则就是有关 联的。如工厂内的机器在一个短的时间区间内出现故 障（顾客到达）的概率就受已经待修或被修理机器数 目的影响。我们主要讨论的是相互独立的情形。
等待的顾客数) Lq为
平均排队人数等于系统的平均人数减去平均 的正在接受服务的人数：
或
设每个顾客在系统中平均逗留时间为Ws。顾 客在系统中逗留的时间T服从参数为μ-λ的负 指数分布，即顾客在系统中逗留时间超过t
的概率为:
P T t e()t ， t 0
因此顾客在系统中平均逗留时间为：
或
每个顾客在系统中平均等待时间为Wq，平均
（2）平均逗留时间ws和平均等待时间wq。 平均逗留时间ws指进入系统的顾客逗留时间 的平均值（包括接受服务的时间），而平均 等待时间wq则是指进入系统的顾客等待时 间的平均值；
（3）忙期和闲期。忙期是指服务机构两次空闲的 时间间隔，这是一个随机变量，是服务员最关心的 指标，因为它关系到服务员的服务强度；与忙期相 对的是闲期，它是服务机构连续保持空闲的时间。 在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
输入过程可以是平稳的，或称为对时间是齐次的， 是指描述相继到达的时间间隔分布和所含参数（如期 望、方差）都是与时间无关的，否则成为非平稳的。 我们主要讨论的是平稳的情形。
② 排队及排队规则
（1）排队
排队规则是指顾客来到排队系统后如何排队等候服务的 规则，一般有即时制、等待制和混合制三大类。其中即 时制(损失制)是指当顾客到达时，如果所有服务台都已 被占用，顾客可以随即离开系统。等待制指顾客到达系 统时，所有服务台被占用，顾客就加入排队队列等待服 务。而混合制是即时制和等待制相结合的一种排队服务 规则。混合制主要分为两种情况：一是队长有限制的情 况，即当顾客排队等侯服务的人数超过规定数量（等待 空间有限）时，后来的顾客就自动离开，另求服务；二 是排队等侯时间有限制的情况，即当顾客排队等候超过 一定时间就会自动离开，不能再等。