引用记号 则
max
Mmaxymax Iz
Wz
Iz y max
max
Mmax Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz y max
bh 3 / 12 h/2
bh 2 6
单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众 多纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部纤 维的缩短，中间必定有一层纤 维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也 不缩短的一层纤维。
中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称 面。（横截面绕中性轴转动）
c,max
Mmaxy2 Iz
(30 N 0 m 2 )(0 4 5 .8 1 .-1 8.0 6 m 5 4) 2 1 2 0 m 38.44MPa
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.1 纯弯曲时横截面上的正应力 实验观察变形
纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧 缩短，凸侧伸长。 横向线(mm、nn): 仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。
平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变 形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
ydd dy (a)
物理关系：
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。
当应力小于比例极限时，由胡克定律知
E
将 (a) 代入上式，得 E y
(b)
ห้องสมุดไป่ตู้
式(b)表明横截面上任意一点的正应力σ 与该点到中性轴的距离 y
成正比。
在中性轴上：y＝0， σ＝0。
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8 梁的弯曲应力与强度计算
中性轴垂直于纵向对称面。
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
变形几何关系： 设横截面的对称轴为y 轴，向下为 正，中性轴为 z 轴（位置未定）。
b byd
b b d x O O O O d
ydd dy (a)
式(a)表明线应变ε与它到中性层的距 离 y 成正比。
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
例： 已知 l=1m，q=6kN/m，10号槽 钢。求最大拉应力和压应力。
解：（1）作弯矩图 Mmax1 2q2l300N0m
（2）由型钢表查得，10号槽钢
Iz 25.6cm4 b4.8cmy1 1.52cm
（3）求最大应力
t,max
Mmaxy1 Iz
(30N 0 2m 0 5 ).1 1(6.5-08m 21 4 02m)17.18MPa
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。以 中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的公 式就可适用。
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力 在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
1 M
EI z
EIz 称为梁的弯曲刚度。
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
1 M EI z
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
M y Iz
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为
正，即为拉应力，若为负则为压应力。
但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正 应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大， 足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
My Iz
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
My AzdA0
(d)
Mz AydAM
(e)
zdAE yzdA0
A
A
AyzdAIyz0 (自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
将式(b)代入式(e)，得
M ydAE y2dA
A
工程力学
8 梁的弯曲应力与强度计算
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。
对于直径为 D 的圆形截面
Wz
Iz y max
D 4 / 64
D/2
D 3 32
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
Wz
Iz y max
D4(14)/64 D3 (14)
D/2
32
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
如果梁的最大工作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就 是安全的。因此，梁弯曲时的正应力强度条件为
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
静力学关系
FN
dA
A
My
zdA
A
Mz
ydA
A
FN
dA0
A
(c)
My AzdA0
(d)
Mz AydAMe
(e)
将式 E y 代入式(c)，得
AdAAEydA0
E
＝常量，
E
y dA 0
A
Sz 0
z 轴（中性轴）通 过截面形心。
梁的轴线在中性层内，其长度不变。
max
Mmax Wz
对于抗拉和抗压强度相等的材料 (如炭钢)，只要绝对值最大 的正应力不超过许用弯曲应力即可。
对于抗拉和抗压不等的材料 (如铸铁)，则最大的拉应力和最 大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。
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8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
例：20a工字钢梁。若 16M 0 P，a试求许可荷载 F 。