（二）正应力公式
变形几何关系

y

s E
物理关系
s E
M EI Z 1
y

静力学关系
My s IZ

为曲率半径
1

为梁弯曲变形后的曲率
8
（三）正应力公式适用条件
My s IZ
• M — 横截面上的弯矩 • y — 所计算点到中性轴的距离 • Iz — 截面对中性轴的惯性矩
不仅适用于纯弯曲，也适用于剪力弯曲； 适用于所有截面。 （四）应力正负号确定 M为正时,中性轴上部截面受压下部截面受拉; M为负时,中性轴上部截面受拉下部截面受压. 在拉区s为正,压区s为负
x 1
14 60kNm
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
求应力
bh3 1201803 Iz 1012 5.832105 m 4 12 12
qL 8
2
120 y +
z
Wz I z / 0.09 6.48104 m3
s1 s 2
M1 y Iz
60 60 105 61.7MP a 5.832
15
M M1 Mmax
x
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
s 1max
M 1 601000 104 Wz 6.48 92.6MP a
2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
M max s 校核强度： s max 、校核强度： Wz M max 设计截面尺寸： Wz [s ]
确定许可载荷：M max
Wz [s ]
13
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
9
§7-2 .1 最大正应力 最大正应力
M max ymax Iz
危险截面: 最大弯矩所在截面 Mmax 危险点：距中性轴最远边缘点 ymax
s max
令
Iz Wz ymax
抗弯截面模量。
则
s max
M Wz
一般截面，最大正应力发 生在弯矩绝对值最大的截 面的上下边缘上； 10
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
M C 2.5kNm(下拉、上压 )
M B 4kNm（上拉、下压）
17 画危面应力分布图，找危险点
y2
A2 A4
M
-4kNm x 2.5kNm A1 A3
sA L
2
M C y2 2.5 88 28.2MPa 8 Iz 76310
Wz —抗弯截面模量
Iz Wz ymax 抗弯截面模量。
Iz 矩形 Wz ymax
b
d
bh3 2 bh 12 h 6 2
I z d 4 / 64 d 3 圆形 Wz ymax d /2 32 I z D3 圆环 Wz (1 a 4 ) ymax 32
第七章
梁的应力和强度计算
§7–1 梁的正应力 §7–2 梁的正应力强度条件及应用 §7–3 梁横截面上的切应力 §7–4 梁的切应力强度条件
1
§7-1.1 梁的应力情况 由图可知，在梁的AC、 DB两段内，各横截面上 既有剪力又有弯矩，这 种弯曲称为剪切弯曲(或 横力弯曲)。
•
在梁的CD段内，各 横截面上只有弯矩而无 剪力，这种弯曲称为纯 弯曲。
③横向线与纵向线变形后
仍正交。
4 ④横截面高度不变。
2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的 变形，作出如下的两点假设：
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转
动，距中性轴等高处，变形相等。
纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 （横截面上只有正应力）
纵向对称面
中性层
中性轴
M max 67.5 1000 104 Wz 6.48 104.2MPa
s max
qL2 8
+ M
120 求曲率半径
EI z 200109 5.832105 1 M1 60103 194.4m
16
M1 Mmax
x
4
P1=9kN A C 12
由以上定义可得：
1、剪切弯曲
剪力Q 切应力t 正应力s
内力
弯矩M 2、纯弯曲 内力：弯矩M 正应力σ
3
§7-1.2 现象和假设 纵向对称面 （一）梁的纯弯曲实验 1.纯弯曲实验 ①横向线(a b、c d）变形 a b M a b c d c d M 后仍为直线，但有转动； ②纵向线变为曲线，且上 缩下伸；
d D
ad
D
11
§7-2.2 正应力强度条件及计算 1、正应力强度条件：
s max
M max [s ] WZ
[s]— 材料的容许应力
矩形和工字形截面梁正应力 smax=M/Wz Wz = Iz /(h/2) 特点： smax+= smax T形截面梁的正应力 smax+ =M/W1 W1 = Iz /y1 smax- =M/W2 W2 = Iz /y2 特点： smax+ smax12
例7.2.1 受均布载荷作用的简支
梁如图所示，试求： （1）1—1截面上1、2两点的 正应力； （2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1—1 截面的曲率半径。
qL2 8
+ M
120 y
z
M1 Mmax
x
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
-4kNm x
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的[sL]=30MPa，
1m
[sy]=60 MPa，其截面形心位于G
点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
5
3 . 两 个 概 念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因
而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性
层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
纵向对称面
中性层
中性轴
6
§7-1.3 纯弯曲梁正应力
• 一、公式推导： 变形的几何关系 导出 应力与应变间物理关系 静力平衡条件
7
正应力计算公式
由以上分析得