1 三角形垂心与外心的一个性质 性质：在ABC 中，已知O 为ABC 的外心，H 为ABC 的垂心，P 为垂足三角形DEF 的外心，则O,P,H 三点共线，且P 为OH 的中点
证明： M
如图延长AB,ED 交于点M ，延长EF ，CB 交于点N ，连接MN 。

因为OH=OA+OB+OC （加粗倾斜字体为向量）
所以OH*MN=(OA+OB+OC)*MN
=OA(MF+FE+EN)+OB(MF+FN)+OC(ME+EN)
=(OA+OB)MF+(OA+OC)EN
因为O
为ABC 的外心，所以OA+OB,OA+OC 分别过
AB,AC 的中点，所以上式中OH*MN=0。

所以OH ⊥MN 因为
ABDE 四点共圆，所以三角形MBD 相似于三角形MEA
所以
MB*MA=MD*ME 所以M 对O 的幂等于M 对P 的幂，
同理N 对O 的幂等于N 对P 的幂，
所以OP ⊥MN,又因为OH ⊥MN
所以O,P,H 三点共线
下证OP=PH
如图，取AH 中点Q ，连接QP
因为Q 为AH 中点，H 为垂心，所以Q 为三角形AEF 的外心，所以QE=QF ，
又因为P 为三角形DEF 的外心，所以PE=PF
所以PQ ⊥EF ，又因为AO ⊥EF ，所以PQ //AO,
又因为Q 为AH 中点，
所以P 为OH 中点。

原命题得证。

而P 即为九点圆的圆心。