《位似》教学设计一、教学目标1.了解位似图形的有关概念，掌握其性质与作图．2.利用位似将一个图形放大或缩小．3.掌握平面直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同．二、教学重点及难点重点：位似图形的有关概念、性质与作图；利用位似将一个图形放大或缩小；平面直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标的关系．难点：根据位似图形的性质，利用画位似图形的方法，将任意一个几何图形放大或者缩小．三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源位似的图片，《作一个缩小的位似图形》的微课视频五、教学过程（一）情境导入在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形．例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上；在照相馆中，摄影师通过照相机，把人物的形象缩小在底片上．这样的放大或缩小，没有改变图形的形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和满意的照片．设计意图：通过复习已经学过的图形变换，让学生将知识系统化，形成知识网络；通过观察展示图片，让学生了解幻灯机和照相机保持图形形状不变，物、像上对应点连线交于一点的成像特点，为理解位似的概念提供基础．（二）探究新知1．请欣赏如下图形的变换：下列图形中，每个图中的四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′都是相似图形．分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？学生通过观察每一组相似图形，除具备相似的所有性质外，发现每个图中的两个四边形各对应点的连线相交于一点．学生自己归纳出位似图形的概念： 每幅图的两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心（位似中心可在形上、形外、形内）．我们称这两个图形关于这点位似．让学生明白：（1）位似图形对应顶点的连线相交于一点；（2）不经过位似中心的对应边平行；（3）位似是一种具有位置关系的相似；（4）位似图形是相似图形的特殊情形；（5）位似图形必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；（6）两个位似图形的位似中心只有一个；（7）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧．设计意图：学生通过观察、自主探究、归纳出位似图形的概念，培养学生自主获取知识的能力．2．把下图中的四边形ABCD 缩小到原来的． 12分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位似中心的距离之比为1︰2．作法一：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A′，B′，C′，D′，使得； （4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．思考：此题目还可以用其他方法画出图形吗？作法二：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′，使得； （4）顺次连接A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．作法三：（1）在四边形ABCD 内任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；1212OA OB OC OD OA OB OC OD ''''====12OA OB OC OD OA OB OC OD ''''====（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A′，B′，C′，D′，使得； （4）顺次连接A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．（当点O 在四边形ABCD 的一条边上或在四边形ABCD 的一个顶点上时，作法略，教师可引导学生参考1中的图（4）（5）进行作图．总结画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．设计意图：经历画位似图形的过程，总结画位似图形的一般步骤，进一步发展学生的探究、交流能力、以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯．3．我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A （6，3），B （6，0）．以原点O 为位似中心，相似比为，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？（2）如图，△AOC 三个顶点的坐标分别为A （4，4），O （0，0），C （5，0）．以点O 为位似中心，相似比为2，将△AOC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 12OA OB OC OD OA OB OC OD ''''====13学生作图后小组合作交流发现：（1）中图形位似变换后A，B的对应点为A'（2，1），B'（2，0）；A"（-2，-1），B"（-2，0）．（2）中图形位似变换后A，O，C的对应点为A'（8，8），O（0，0），C'（10，0）；A"（-8，-8），O（0，0），C"（-10，0）．归纳小结：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）．设计意图：学生通过画位似图形，观察发现并归纳出平面直角坐标系中以原点为位似中心，把一个图形放大或缩小k倍时，新旧图形上对应点的坐标之间的关系．4．至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在图下所示的图案中，你能找到这些变换吗？学生观察图形，分别找出图形中的变换，并总结这四种变换的特点．例如平移、轴对称和旋转都是全等变换，变换前后的图形是全等形，而位似变换前后得到的图形一般不是全等的，是相似的．设计意图：让学生在应用中进一步复习四种变换的概念．（三）例题解析例1.如图，△ABO 三个顶点坐标分别为A （-2，4），B （-2，0），O （0，0）．以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为．解：如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A'（-3，6），B'（-3，0），O （0，0）．顺次连接点A'，B'，O ，所得△A'B'O 就是要画的一个图形；或者分别取点A"（3，-6），B"（3，0），O （0，0）．顺次连接点A"，B"，O ，所得△A"B"O 就是要画的另一个图形．设计意图：通过例题的讲解，让学生能够根据平面直角坐标系中以原点为位似中心，把一个图形放大或缩小k 倍时，新旧图形上对应点的坐标之间的关系进行画图．例2．如图，以O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的两倍（作出一种情况即可）．2．解：（1）作射线OA ，OB ，OC ；（2）分别在OA ，OB ，OC 上取点A'，B'，C'，使得； （3）顺次连接点A'，B'，C'，△A'B'C'就是所要求图形．3212OA OB OC OA OB OC ==='''设计意图：考查利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．（四）课堂练习1．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（ ）． A ．（3，3） B ．（4，3） C ．（3，1） D ．（4，1）设计意图：考查直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标的关系．2．在平面直角坐标系中，已知点E （-4，2），F （-2，-2），以原点O 为位似中心，相似比为，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是（ ）． A ．（-2，1） B ．（-8，4） C ．（-8，4）或（8，-4） D ．（-2，1）或（2，-1） 设计意图：考查直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标的关系．3．如图，四边形ABCD 与四边形AEFG 是位似图形，且AC ︰AF =2︰3，则下列结论不正确的是（ ）．A ．四边形ABCD 与四边形AEFG 是相似图形B ．AD 与AE 的比是2︰3C ．四边形ABCD 与四边形AEFG 的周长比是2︰3D ．四边形ABCD 与四边形AEFG 的面积比是4︰91212设计意图：考查位似图形和相似图形的关系及它们的性质．4．如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？设计意图：考查位似图形是相似图形的特殊情形，从而具有相似图形的性质．5．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，-5），B（6，0），O（0，0），以原点O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍，画出变换后的图形，并写出变换后对应顶点的坐标．设计意图：考查平面直角坐标系中以原点为位似中心，把一个图形放大k倍时，新旧图形上对应点的坐标之间的关系以及画图能力．答案：1．A2．D3．B4．解：AB∥CD．∵△OAB与△ODC是位似图形，∴△OAB∽△OCD．∴∠OAB=∠C．∴AB∥CD．5．位似变换后A，B，C的对应点为A'（8，-10），B'（12，0），O（0，0）；A"（-8，10），B"（-12，0），O（0，0）．六、位似图形的概念：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心（位似中心可在形上、形外、形内)．称这两个图形关于这点位似．2．画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．3．平面直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标的关系：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，了解位似图形的有关概念、性质与作图，掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律．七、板书设计27.3 位似一、位似图形及相关概念二、画位似图形的一般步骤。