1
Ae
ik1 x
,
m ( x) Be
ik2 x Be ,
1
r ( x) Ceik x C eik x ,
利用在 x 0 和 x a处波函数连续性和波函 数微商连续性条件 A A B B k1 A k1 A k 2 B k 2 B
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2
A
2
透射系数为：
2 C JT 4k12 k2 T 2 2 2 2 2 2 2 J ( k k ) sin k a 4 k A 1 2 2 1 k2 2
2.6 一维方势垒
由上两式可见，一般情况下，透射系数 T 1 ， 反射系数R 0 ，而这之和为1。这表明，在量 子力学中，即是粒子的能量大于势垒高度，仍 有部分被反射回来。这正是微观粒子具有波动 性的体现。
Be
ik2 a ik2 a ik1a Be Ce ik2 a ik1a k2 B e Ck1e
k2 Be
ik2 a
2.6 一维方势垒
可得出 A, C 与 A 关系
2i (k12 k22 )sin k2 a A A, 2 ik2 a 2 ik2 a (k1 k2 ) e (k1 k2 ) e 4k1k2e C A, 2 ik2 a 2 ik2 a (k1 k2 ) e (k1 k2 ) e
由第二式可见，一般情况下透射系数 T 1 ， 当 k2 a n 的特定情况下，其透射系数T 1 ， 这种情形下的透射现象叫做 共振透射
2.6 一维方势垒
二、E U 0 的情形
k2 为虚数。但若令k2 ik3 ，则 此时， 2m 2 k3 2 (U 0 E )
系数关系变为
2 2
2m
2
(E U0 )
d 2l 2 k x 0, 1 l 0 2 dx d 2 m 2 k2 m 0 0 xa 2 dx 2 d r ( x) 2 k xa 1 r 0 2 dx
2.6 一维方势垒
其解分别为
l ( x) Ae
ik1 x ik2 x
ik1a
2.6 一维方势垒
由概率流密度公式可得入射波的概率流密度为：
k1 2 J A m 透射波的概率流密度为：
k1 2 JT C m
反射波的概率流密度为：
k1 2 JR A m
2.6 一维方势垒
反射系数为：
JR (k k ) sin k2 a R 2 2 2 2 J (k1 k ) sin k2 a 4k1 k2 A
2.6 一维方势垒
前面讨论了束缚态，这一节我们讨论散射态。 首先讨论一维方势垒问题。
0 U ( x) U 0
U ( x)
x 0, x a 0<x<a
设能量为E 的粒子从势垒的左方向右方运动，
E
U0
x
0
a
2.6 一维方势垒
下面分别就来 E U 0 与 E U 0 来讨论 一、E U 0 的情形 ( x )满足的薛定谔方程为 此时，
(k k )s hk3 a A 2 A, (k1 k ) s hk3a 2ik1k3chk3a
2 1 2 2 3 2 3
2ik1k3e C 2 A, 2 2 (k1 k3 ) s hk3a 2ik1k3chk3a
ik1a
2.6 一维方势垒
反射系数和透射系数为：
2 2 (k12 k3 ) s h 2 k3 a R 2 , 2 2 2 2 2 (k1 k3 ) s h (k1 k3 ) s h 2 k3 a 4k12 k3
由此可见，反射系数 R 1和透射系数 T 0 ，且 二者之和等于1，这表明，在量子力学中，即使 粒子的能量小于势垒的高度，粒子仍有一部分 透射过去。
2.6 一维方势垒
这种粒子在其能量 E 小于势垒高度 U 0时， 仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫 隧道效应，又叫隧穿效应
U ( x)
入射波
U0
透射波
0
a
x
2.6 一维方势垒
隧道效应的应用：
1、扫描隧道显微镜（STM）是电子隧道效应的 重要应用之一。 扫描隧道显微镜可以显示表面原子台阶和原 子排布的表面三维图案。 在表面物理、材料科学和生命科学等诸多领 域中，扫描隧道显微镜都能提供十分有价值 的信息。
2.6 一维方势垒
2、隧道二极管是一种利用隧道效应的半导体器 件，也是隧道效应的重要应用之一。 由于隧道效应而使其伏安特性曲线出现负阳 区，因而隧道二级管具有高频、低噪声的特 点。 隧道二级管是低频放大器、低频噪声振荡器 和超高速开关电路中的重要器件。
d l 2m 2 El 0 x 0, 2 dx d 2 m 2m 2 ( E U 0 ) m 0 0 xa 2 dx d 2 r 2m 2 E r 0 xa 2 dx
2
2.6 一维方势垒
为方便起见，令 方程可改为：
k
2 1
2mE
2
, k