已知粒子所处的势场为：V (x) 0, 0 x a V (x) , x 0, x a
粒子在势阱内受力为零，势能为零。
在阱外势能为无穷大，在阱壁上受
V (x)
极大的斥力。称为一维无限深势阱。
其定态薛定谔方程：
2 2m
d 2(x)
dx2
V (x)(x)
E ( x)
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o ax
对势场中三维运动的粒子
2 ( 2 2 2 ) V (x, y, z,t) i
2m x2 y2 z2
t
引入拉普拉斯算符：2 2 2 2 则有 x2 y2 z2
2 2 V (x, y, z,t) i
2m
t
再引入哈密顿算符：H
2
2
V (x,
y, z,t)
则有
2m
H
i
一般的薛定谔方程
隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏。
探针
因为隧道电流对针尖与样品 间的距离十分敏感。控制针尖高 度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；
2m
dt
两边除以(r) f (t)可得：
1 (r)
[
2 2m
2 (r)
V
(r) (r)]
i
1 f (t)
df (t) dt
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式 两边必须等于同一个常数，设为E则有：
[ 2 2 V (r)] (r) E (r)
II
III
（2）E<V0情况
oa x
在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回，
在x<0的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同
，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿
透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特
有的现象称“隧道效应”。
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
隧道效应和扫描隧道显微镜STM
1981年在IBM公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和 罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质 来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图象， 为此获得1986年诺贝尔物理奖。
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局 限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变 为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约 为1nm。
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第十一章 量子物理学基础
薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于 他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作， 使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的 最显著的特点之一。
薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933 年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。
(x) Asin(nx), n 1,2,3,
a
由归一化条件 a Asin2 ( n x )dx 1 A 2
0
a
a
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第十一章 量子物理学基础
一维无限深方势阱中运动的粒子其定态波函数：
n (x) 0,
x 0, x a
n (x)
Asin( nx ),n
量子力学的处理方法
（1）已知粒子的m，势能函数V，即可给出薛定谔 方程
（2）由给定的初、边值条件，求出波函数
（3）由波函数给出不同地点、时刻粒子的几率 密度||2
下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
11.8 一维无限深方势阱
1、以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。 了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛 定谔方程的自然结果。
a
1,2,3,
0 xa
称 n为量子数；n(x) 为本征态；En 为本征能量。
讨论
1、存在最小能级
E1
2 2
2ma 2
，称为基态能量。
2、能量是量子化的。
3、能级间隔：En
En1
En
2 2 (2n 1)
2ma 2
当续的n ，能量, 可En视/ E为连2续/ n变化0。能级分布可视为连
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887~1961）奥地利物理学家。
1926年建立了以薛定谔方程为 基础的波动力学,并建立了量子力 学的近似方法。
量子力学建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等价 的理论—矩阵力学和波动力学。
相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 速运动的粒子的波动方程。
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第十一章 量子物理学基础
例：电子在 a 1.0 102 m 的一维无限深势阱中
En
n2
h2 8ma 2
n2 3.77 1015 eV
E
2n
h2 8ma2
n 7.54 1015eV
（近似于连续）
若 a 0.10nm，同理可得
E n75.4eV （能量分立）
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dx2
x)
k
23
(
x)
0,
xa
d
22 (
dx2
x)
k12
2
(
x)
0,
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0 xa
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第十一章 量子物理学基础
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波和反射 波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区只
有透射波。粒子在 x 0 处的几率要大于在 x a 处
量（动量、能量等）。
（4）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非相对 论关系）E=p2/2m在量子力学中仍成立。
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第十一章 量子物理学基础
2、单能自由粒子（沿x方向匀速运动）的薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为 的自由粒子的波函数
分别对时间和位置坐标求偏导数得：
(1887—1961)
在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年， 薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，建立 了势场中微观粒子的微分方程，并提出了一系列理论 体系，当时被称作波动力学，现在统称量子力学。
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薛定谔方程 一维势阱
t
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第十一章 量子物理学基础
4、 定态薛定谔方程（即V(x,y,z)是不随时间变化）
若作用在粒子上的势场不显含时间 t ，在经典 力学中这相应于粒子机械能守恒的情况，可用分离 变量法求薛定谔方程的特解。
设 : (r,t) (r) f (t)
2
f (t)2(r) V (r)(r) f (t) i(r) df (t)
(r,t) (r)Aexp( i Et) （定态波函数）
对应的几率密度与时间无关。即：
(r,t) (r,t) (r)(r)
处于定态下的粒子具有确定的能量E、粒子在
空间的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测 量值的几率分布和平均值都不随时间变化。
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
第十一章 量子物理学基础
2、 势垒贯穿（隧道效应）
V
V (x) 0, x 0, x a
V0
V (x) V0 , 0 x a
在经典力学中,若粒子的动能 E V0 , 它只能在 I 区中运动。 在量子物理学中其定态薛定谔方程为：
I II III
Oa x
2 2m
d
21 ( x)
dx2
E1 ( x),
第十一章 量子物理学基础
求出解的形式如图
V V0
I
II
III
oa x
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第十一章 量子物理学基础
量子力学结果分析：
（1）E>V0情况
V
在经典力学中，该情况的粒子
V0
可以越过势垒运动到x>a区域，而
在量子力学中有一部分被反弹回去，
即粒子具有波动性的具体体现。 I
隧道效应
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第十一章 量子物理学基础
在阱外粒子势能为无穷大，满足：
2 2m
d 2(x)
dx2
(x)
E ( x)
x 0, x a
方程的解必处处为零： (x) 0 x 0, x a
根据波函数的标准化条件，在边界上 (0) 0,(a) 0
粒子被束缚在阱内运动。 在阱内粒子势能为零，满足：
x0
2 2m
d
22 (x)
dx2
V02 (x)
E 2
(x),Leabharlann 2 2md23 (x)
dx2
E 3 ( x),
xa
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0 xa
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第十一章 量子物理学基础
令：
k
2
2mE 2
k12
2m(V0 2
E)
三个区间的薛定谔方程化为：
d
21(
dx2
x)
k
21 (
x)
0,
x0
d
2 3 (
2m
2
(r)
2m 2
(
E
V
)
(r)