风阻系数 0.5 0.28~0.4 0.15 0.1~0.2 0.08 0.05
高尔夫球的表面有凹坑，能增加旋转时的提升力，考虑 到这个因素，我把我计算时的高尔夫球的风阻系数取为：
C 0.15
有报道说，顶级专业选手击出的球的初速高达时速180英 里，一般专业选手达160英里时速（约71.1米/秒），业 余选手在126英里时速的水平。计算中，我取初速
y' (0) w0 sin c21
则 x c11t
y
0.5gt2
c21t
✓ 把复杂因素尽可能在符合需求的条件下简化。 8
（2）有空气阻力（但不空考虑风的影响等）
m m
d2x dt2 d2y dt2
k wn 1 k wn 1
dx
dt dy
dt
mg
其中 w ( dx)2 ( dy )2 dt dt
• 数值积分方法（例如复合辛普森公式）求定积分。
求得 x(t)和 y(t) 的离散点值 x j 和 y j
(xj, yj)
16
接下来，我们根据这些离散点值，找到一条通过这些 点的光滑曲线，从而给出高尔夫球的完整轨迹。需要： • 插值方法（例如三次样条多项式插值）。
17
• 数据的拟合（例如最小二乘法）
4
• 数值计算方法的研究内容 计算机应用的两大领域： * 数值应用领域 * 非数值应用领域 数值计算方法是数值应用领域的基
础，其主要工作是要设计和分析各种算 法，这些算法是以数值的形式求解科学 和工程中提出的各种数学问题。它是用 近似的方法来处理各种连续的量、函数 和方程，获得它们的数值解（近似解）。
取适当的初值 x0 ，迭代收敛可得到1个根。
✓ 把非线性问题，通过线性化的方法近似求解。
14
uj vj
获得所有的 u j 和 v j 的近似值后，来计算
t
x(t) u( )d
和
t
y(t) v( )d
0
0
15
我们并没有完整的函数u(t) 和 v(t) ，只有一些离散
点上的值 u j 和 v j ，需要：
当I0取为 0.63212055882856
当I0取为 0.63212055882855
当I0取为 1-exp(-1)
24
四、知道数值计算是科学研究的重要手段 之一
• 科学研究的三种基本手段：理论分析、实验、 数值计算，缺一不可。 • Richard Hamming（1915-1998, 1968年图灵奖 得主）的名言—
20
• 数值（近似）方法的多样性：
（1）直接计算 1 x 1 ， x
（2）用 1 x 1 计算，
（3）用下列近似公式计算：
1 x
1
1 2
x
1 22
x2 2!
3 23
x3 3!
35 24
x4 4!
1 x 0.5* x 2
（4）
1
x
1
1 2
x
1 22
x2 2!
• 计算量： （3）的计算量最小。
(1) a a a (i1 ,i2 , ,in )
i1 1 i2 2
inn
i1 ,i2 , ,in C (1,2, ,n)
约需要 (n-1)·n! 次乘法，n=22时约为 2.361022 ，每秒万
亿次计算机要算75年。超级计算机（千万亿次）也要计算
27天多。用高斯消去法，则只要 n3次乘法（223 10648）
及
v j1 v j t
1 k 2m
wj v j wj1 v j1
g
这是关于未知数 u j1和 v j1 的非线性方程组。
• 线性方程组的数值求解方法 • 非线性方程的求根（例如牛顿迭代法）：
方程 f (x) 0 的根可以用迭代方法求得： xk1 xk f ( xk ) / f ' ( xk )
x1 2.5895
x2 2.4609
x3 3.5407
x4
3.2753 =
x5 3.0603
x6 2.6911
x7 4.6030
x8 3.1424
解为：X’=[0.55 0.71 1.01 1.01 0.31 0.24 0.95 0.46]
举例0-2：求定积分
1 sin(x)
0
dx x
的值。
解为： 0.94608307
du
dt dv
k
m k
wu wv
g
u
dt m
• 数值微分（例如 ， 向前差分）：
j j+1 t
du
u j1 u j
dt t jt
t
• 常微分方程数值方法（例如隐式梯形公式）：
t=nt n
u j1 u j t
1 k 2m
wj u j wj1 u j1
✓ 把无限意义下的微分，转化成代数形式下的有限个未知数。 13
计算方法
绪论
• 关于数值计算方法
数学 计算机
计算方法 Numerical Methods
数值分析 Numerical Analysis 数值计算
科学计算 Scientific Computing
（Computational Science）计算机仿真
它是计算数学（Computation / Computational Mathematics）学科的主要研究对象，也是计 算（Computing）学科的方向之一,它的发展直 接推动和伴随了计算机技术的进展。
w0 71.1米 / 秒
顶级专业选手击出的球的距离可达到300码，约274.3米。
这可以作为验证我们计算结果的比对参照。
10
令 u dx , v dy 则 w u2 v2
dt
dt
du ddvt
k
m k
w w
u v
g
dt m
若 x(0) y(0) 0
x' (0) u(0) w0 cos y' (0) v(0) w0 sin
x 4 1; y 3x ; z 1 y
3
返回运算结果为“>> z=2.220446049250313e-016”
7
• 举例1：高尔夫球的抛射轨迹
（1）没有空气阻力
d2x
dt d2
2
y
dt2
0 g
取 w0 71.1 米 / 秒
0.22
若 x(0) y(0) 0
x' (0) w0 cos c11
舍入误差影响大， 稳定性差
6.172839438271602e-016
>> y1=0.5*x y1 =
舍入误差影响小， 稳定性好
6.172839438271605e-016 23
• 不稳定性的一个例子：
•
举例3：计算积分值
I20 e1
1 x20exdx
0
记：
In
e1
1 xne xdx,(n 0,1,2, )
5
实际 问题
数学 模型
数值 方法
计算机 计算
计算数学 图1-1 数值应用领域的几个环节
• 数值方法的基本处理思路:
复杂 无限 微分 非线性
算 法
可 行 性
简化 有限 代数 线性
截断误差 收敛性 精度 误差
舍入误差 稳定性
计算量（时间、空间）
6
举例0-3（关于计算量）：计算矩阵A的行列式
det(A)
0
则： In 1 nIn1,(n 1,2, ,20),
I0 e1(e 1) = 0.63212055882856
精确值: I20 0.04554488407582
但是如果用上面的迭代公式计算的话，计算结
果是(在我的机器matlab6.5平台上)：
5642.0416399968 -18667.53279521354 -30.19239488558378
21
• 收敛性：
(
1
x
1)
1 2
x
(
1 22
x2 2!
3 23
x3 3!
35 24
x4 4!
)
( 1 x 1)
( 1 x 1)
(
1
x
1)
x (
1 22
1 2!
3 23
x 3!
35 24
x2 4!
)
x0 0
所以，近似算法公式(3)是收敛的。
但是，注意，下面的算法是不收敛的，即使当 x 0
• 微分方程数值方法 常微分方程数值解（第六章） 偏微分方程数值解
19
二、初步学会使用Matlab – 一个超级“计算器”。
三、了解数值方法设计的核心：
• 精度
各类误差分析
截断误差 舍入误差
• 收敛性 • 稳定性
• 计算量
算法速度 存储量
• 举例2：计算 1 x 1 的值，
其中 x 0, x 很小。
实验测量数 据直接相连 一般不能构 成光滑的曲 线，需要用 曲线拟合算 法构造光滑 合理的造型。
18
• 本课程的学习目标 –
一、学习一些基本的数值方法：
• 解代数方程（求根） 非线性方程求根（第二章） 线性代数方程组求解（第三章）
• 构造光滑曲线 插值多项式（第四章） 曲线拟合（第四章）
• 数值微积分 数值微分（第五章） 数值积分（第五章）
低速 时，n=2，即阻力与速度的平方成正比。
k 1C A
2
其中，A 是物体有效截面积，是空气密度，C是物体 的风阻系数；m是物体的质量。
零度时， 1.297 kg / m3
高尔夫球重 m 46克 ，直径 d 42毫米