2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（四）一、选择题1.D解析:2=)1()21ln()cos 1(tan lim 20x x e d x c x b x a -→-+--+=c a xde xc x b x axx 22212sin cos lim 220-=+--+-→,所以c a 4-=2.D解析：注意（1）211)('x x f +=，（2）)(31arctan ,033x o x x x x +-=→时．由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )(11)('2==+=ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ，31)()31(lim )(arctan arctan lim lim 333020220=+--=-=→→→x x o x x x x x x x x x x x ξ．3.A 解析：由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以000()(1sin )()(0)()()(0)limlim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x →→→→+--'====,由此可得()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知()sin ()sin lim lim x x f x xf x xxx-+→→⋅⋅=.①根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得sin sin lim lim 1x x x x xx --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==,②结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选A.4.B解析：αααx x 2~)21(ln +，是α阶无穷小，ααα21121~)cos 1(x x -是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是)2,1(，应该选B ．5.B解析：由公式()+∞<<∞-=∑∞=x n e n n x0!1用2x -代公式中x 二、填空题6.3解析:由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义,故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个,即1,2,30,1x =±.7.1解析：a xba x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11(1lim 1lim 022，1=a 8.3解析:函数为321y x ax bx =+++,它的一阶导数为232;y x ax b '=++二阶导数为62y x a ''=+,又因为()1,0-是拐点,所以10x y =-''=,得13a-=-,所以3a =,又因为曲线过点()1,0-,所以将1,0x y =-=代入曲线方程,得3b =.9.)310tan(62x x +-解析：)310tan(6)310cos(6)310sin('222x x x xx y +-=+⋅+-=10.0,1==x y 解析：lim 1, lim 11x x y y y →+∞→-∞==⇒=为水平渐近线lim 0x y x →=∞⇒=为铅直渐近线221lim lim 0(1)x x x x y e x x e --→∞→∞+==-无斜渐近线11.C x x +-cot tan 或C x +2cot2-解析：法一：C x x x dxx dx dx xx x x x x dx +-=+=+=⎰⎰⎰⎰cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222.法二：原式=cx x xd +-=⎰2cot 22sin 22212.1e-解析:由题意知,()210nn n e a n--=>,()()()()1121211221lim lim 1111lim ,111n n n nn n n nn n n n n e an a n e e e n e n e e +++→∞→∞++→∞--=⋅+--⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎡⎤+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以,该幂级数的收敛半径为1e -.13.219解析：219==∆S 14.)0,1[-解析：01112)12(1)12(lim1<<-⇒<+=+++=+∞→x x nx n x nn n ρ，当1-=x 时，∑∞=+1)12(n n n x 收敛，当0=x 时，∑∞=+1)12(n nn x 发散，所以收敛域为[)0,1-15.3π解析：216366121)1(21cos ==⨯+-+⨯=θ，故3πθ=三、计算题16.解析：当1→x 时,331~11ln(--+x x 323212~12arcsin --x x ......................................2分按照等价无穷小代换32313231121lim12arcsin )11ln(lim--=--+→→x x x x x x ..................................4分31121lim +=→x x ...................................6分3221=........................................7分17.解析：x xx xx e x x xxx x x x x x e e e e x x f 2111lim )1ln(lim )1(ln 1lim 110002010)1(lim )(lim -+-++→→+→+→+→++===⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=011lim 21x xe+→-+=)0(21f e==-，∴)(x f 在0=x 处右连续；...............4分又∵)0()(lim 210f e x f x ==-→-，∴)(x f 在0=x 处左连续；............6分从而可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-,e ,ex x f x x 2111])1([)(00≤>x x 在点0=x 处连续.............7分18.解析：设]1,0[1)(C xe x f x∈-=..................2分由于01)0(<-=f ,01)1(>-=e f ,....................3分由零点定理知,)1,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即1=ξξe ...........5分又因0)1()(>+='xe x xf ,)1,0(∈x ,知↑]1,0[ )(在x f ,.........6分所以方程1=xxe 在区间)1,0(内有且只有一个实根ξ..............7分19.解析：令:tdt t dx t x tan sec ,sec ==.........................2分⎰⎰+=-+tdt t tt t dx x xx tan sec tan sec 1sec 11222.................4分dt t )cos 1(⎰+=.........6分1sin arccos t t c c x x=++=++..............7分20.解析：将区间[]1,0n 等分，则每个小区间长为1i x n ∆=，然后把2111n n n =⋅的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．...........2分即21limn n →∞+++ =1lim n n →∞+ ......5分⎰=13x ................7分43=............8分21.解析：40sin 1sin x dx x π+⎰=420sin (1sin )1sin x x dxx π--⎰.............................2分⎰⎰-=402402tan cos sin ππxdx dx x x.............................3分=244200cos (sec 1)cos d x x dx x ππ---⎰⎰............................5分=44001[][tan ]cos x x x ππ--..................................7分=24π-+分22.解析：方程的标准形式为x y x y dx dy ln =，这是一个齐次型方程，设xyu =，得到通解为1+=Cx xe y ，将初始条件3)1(e y =代入可得特解为12+=x xe y ．23.解析：设u =，2ln(1)x u =+，221udx du u =+...............2分当25ln ,1,0====u x u x 时，时 (3)分ln 53x e dx e +⎰=22220(1)241u u udu u u +⋅=++⎰⎰+202242du u u ....................6分⎰+-+=20224442u u ......................7分du u du ⎰⎰+-=22204182.................8分π-=4...............................10分四、综合题24.解析：1(1)(0)1(0), (1) 1 (0,1) ()2102f f f f f ηη-'==∴∃∈==- ＜1(拉格朗日中值定理)()f x ' 连续，(,1) (0,1)ξη∴∃∈⊂,使()1f ξ'=(连续函数介值性定理)25.解析：取函数]1,1[,arccos arcsin )(-∈+=x x x x f 01111)('22=---=xxx f ……………………………………………2分故Cx f =)(取0=x ，得到2)0(π==C f ………………………………………6分故2arccos arcsin π=+x x ，)11(≤≤-x ……………………………10分26.解析：两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===⎰.................2分且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知(0)(0)1f g =''===..........4分故所求切线方程为y x =...........................6分而3()(0)3lim (lim33(0)330n n f f n nf f n n→∞→∞-'=⋅==-..............10分。