2019—2020学年度第一学期教学质量检查高二数学一､单项选择题1. 在ABC ∆中,内角,,A B C对边分别为,,a b c ,且2,45,120b B C ==︒=︒,则边c =( )A.B.C. 2D.【答案】D 【试题解答】 【试题解析】由已知利用正弦定理可求c . 【详解】解：2,45,120b B C ==︒=︒由正弦定理可得sin sin b cB C= 2sin 45sin120c ∴=︒︒解得c =故选：D本题考查利用正弦定理解三角形,属于基础题.2. 已知实数,x y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则目标函数z x y =-的最大值是( )A. 2B. 1C. 1-D. 2-【答案】A【试题解答】 分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.【试题详细解答】解：作出不等式组表示的平面区域,如图所示由z x y =-可得y x z =-,则z -表示直线z x y =-在y 轴上的截距,截距越小,z 越大由02y x y =⎧⎨+=⎩可得(2,0)C ,此时z 最大为2 故选：A .本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,属于中档题. 3. 糖水溶液(不饱和)的浓度计算公式为()b c a b a =>糖的质量克糖水的质量克,向糖水(不饱和)中再加入m 克糖,那么糖水(不饱和)将变得更甜,则反应这一事实的不等关系为( )A.b b m a a m +>+ B.b b ma a m+<+ C.b b m a a+> D.b b m a a+< 【答案】B 【试题解答】 【试题解析】依题意得到不等关系,即可得解.【试题详细解答】解：依题意,向糖水(不饱和)中再加入m 克糖,此时糖水的浓度为b ma m++,根据糖水更甜,可得b b m a a m+<+ 故选：B本题考查利用不等式表示不等关系,属于基础题.4. 已知双曲线()2222 1 0,0x y a b a b-=>>的实轴长是虚轴长的两倍,则它的渐近线方程为( )A. 12y x =±B. 2y x =C. 2y x =±D.3y x =【答案】A【试题解析】由焦点在x 轴,故渐近线为by x a=±,实轴长是虚轴长的两倍,得到a 、b 的关系,即可得到渐近线方程.【试题详细解答】解：()22221 0,0x y a b a b -=>> 实轴长为2a ,虚轴长为2b ,渐近线为b y x a=±因为实轴长是虚轴长的两倍,即24a b =可得12b a = 12y x ∴=±故选：A本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题.5. 已知数列{}n a 是等差数列,且313650,19a a a +==,则2a =( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8【答案】C 【试题解答】 【试题解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,根据条件列出方程组,解得. 【试题详细解答】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ； 313650,19a a a +==1121450519a d a d +=⎧∴⎨+=⎩解得134d a =⎧∴⎨=⎩21347a a d ∴=+=+=故选：C本题考查等差数列的通项公式的基本量的计算,属于基础题. 6. 已知a,b 为实数,则“02ab <<”是“2a b<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【试题解答】 【试题解析】根据不等式的关系,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【试题详细解答】解：若1a =-,12b =-,满足01ab <<,但2a b<不成立,即充分性不成立. 若0a =且0b >,满足2a b<,但02ab <<不成立,即必要性不成立. 故“02ab <<”是“2a b<”的既不充分也不必要条件, 故选：D .本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键,属于基础题.7. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,则该人第4天走的路程为( ) A. 96里 B. 48里C. 24里D. 12里【答案】C 【试题解答】 【试题解析】由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{}n a ,其中12q =,6378S =.利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.【试题详细解答】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{}n a ,其中12q =,6378S =. 则161(1)2378112a -=-,解得1192a =.33141192242a a q ⎛⎫∴==⨯= ⎪⎝⎭本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 8. 如图,已知三棱锥O ABC -,点,M N 分别是,OA BC 的中点,点G 为线段MN 上一点,且2MG GN =,若记,,OA a OB b OC c ===,则OG =( )A. 111333a b c ++B. 111336a b c ++C. 111633a b c ++D. 111663a b c ++【答案】C 【试题解答】 【试题解析】根据所给的图形,在图形中看出要求的向量可以怎么得到,用减法把向量先变化成已知向量的差的形式,再利用向量的加法法则,得到结果.【试题详细解答】1()2ON OB OC =+,12OM OA =.∴1()2MN ON OM OC OB OA =-=+-∴2121111111()3232336633OG OM MN OA OC OB OA OC OB OA a b c =+=+⨯+-=++=++,故选：C .本题考查空间向量的加减法,本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果,属于基础题. 9. 已知实数0a >,0b >,且122b a +=,则ba 的最大值为( )A.49B.12C.23D.22【答案】B 【试题解答】由122b a+=得：122b a =-,()()2221bb b b b a =-=-,利用基本不等式即可求解.【试题详细解答】由122b a+=得：122b a =-,所以()()2112221222b b b b b b b a +-⎛⎫=-=-≤⨯=⎪⎝⎭,当且仅当1122b b b a=-⎧⎪⎨+=⎪⎩即112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立,所以ba 的最大值为12故选：B本题主要考查了基本不等式求最值,属于中档题.10. 已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线C 上一点,直线l 分别与以1F 为圆心,1F P 为半径的圆和以2F 为圆心,2F P 为半径的圆相切于点,A B ,则||AB =( )A. B. 6C. 8D. 10【答案】B 【试题解答】 【试题解析】设点P 在双曲线的右支上,过2F 作21F D AF ⊥于点D ,根据双曲线的定义,求得18F D =,再在12Rt F DF 中,结合勾股定理,即可求解.【试题详细解答】由题意,双曲线22:1169x y C -=,可得4,3a b ==,则5c ==,设点P 在双曲线的右支上,如图所示,过2F 作21F D AF ⊥于点D .易得四边形2ABF D 为矩形, 因为1122,AF PF BF PF ==,所以111212||28F D AF AD AF BF PF PF a =-=-=-== 又因为12210F F c ==, 所以在12Rt F DF 中,222221211086F D F F F D =-=-=,所以2||6AB F D ==. 故选：B.本题主要考查了双曲线的定义与标准方程,以及直角三角形的应用,其中解答中熟记双曲线的定义和标准方程,求得1F D 的长是解答的关键,着重考查推理与运算能力.二､多项选择题11. 四边形ABCD 内接于圆O ,5,3,60AB CD AD BCD ===∠=,下列结论正确的有( )A. 四边形ABCD 为梯形B. 圆O 的直径为7C. 四边形ABCD 553D. ABD ∆的三边长度可以构成一个等差数列 【答案】ACD 【试题解答】 【试题解析】利用余弦定理,结合面积公式,分析四个选项,即可得出结论. 【试题详细解答】解：5,3,60AB CD AD BCD ===∠=120BAD ∴∠=可证BAD CDA ∆≅∆120BAD CDA ∴∠=∠=︒ 180BCD CDA ∴∠+∠=︒ //BC DA ∴显然AB 不平行CD即四边形ABCD 为梯形,故A 正确；在BAD ∆中由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠22253253cos12049BD ∴=+-⨯⨯︒=7BD ∴=∴圆的直径不可能是7,故B 错误；在BCD ∆中由余弦定理可得2222cos BD CB CD CB CD BCD =+-⋅∠2227525cos60CB CB ∴=+-⨯⨯︒解得8CB =或3CB =-(舍去)11sin1205322BAD S AB AD ∆∴=⋅︒=⨯⨯=11sin 605822BCD S CB CD ∆∴=⋅︒=⨯⨯=444ABCD BCD BAD S S S ∆∆∴=+=+=故C 正确；在ABD ∆中,3AD =,5AB =,7BD =,满足2AD BD AB +=ABD ∴∆的三边长度可以构成一个等差数列,故D 正确；故选：ACD本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用,等差数列的概念的理解,属于中档题. 12. 我们通常称离心率为512-的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆C ：2222x y a b+=1(0)a b >>,A 1,A 2,B 1,B 2为顶点,F 1,F 2为焦点,P 为椭圆上一点,满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有( )A. |A 1F 1|,|F 1F 2|,|F 2A 2|为等比数列B. ∠F 1B 1A 2=90°C. PF 1⊥x 轴,且PO //A 2B 1D. 四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1,F 2 【答案】BD 【试题解答】 【试题解析】利用椭圆及其标准方程和椭圆的几何性质,逐个选项列出含,,a b c 的方程组,然后解方程组即可求解 【试题详细解答】椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>,1(,0)A a ∴-,2(,0)A a ,1(0,)B b ,1(0,)B b -,1(,0)F c -,2(,0)F c ,对于A ,若2112212A F F A F F ⋅=,则22()(2)a c c -=,2a c c ∴-=,13e ∴=,不满足条件,故A 不符题意； 对于B ,11290F B A ︒∠=,222211112A F B F B A ∴=+,2222()a c a a b ∴+=++,220c ac a ∴+-=,210e c ∴+-=,解得12e =或12e =(舍去),故B 对；对于1C,PF x ⊥轴,且21//PO A B ,2,bP c a⎛⎫∴- ⎪⎝⎭,11A PO B k k =,2b b ac a∴=--,解得b c =,222a b c =+,a ∴=,2c e a ∴==,不符题意,故C 不符题意；对于D ,四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ,ab ∴=1424230c a c a ∴-+=,42310e e ∴-+=,解得232e +=(舍去)或232e =,e ∴=符合题意,故D 对 故选：BD本题主要考查椭圆及其标准方程和椭圆的几何性质,主要考查学生的分类讨论和运算能力,属于中档题三､填空题13. 抛物线212x y =上的一点M 到焦点的距离为2,则点M 的纵坐标．．．是________. 【答案】158【试题解答】 【试题解析】先求抛物线的准线方程,再根据抛物线的定义,将点M 到焦点的距离为2转化为点M 到准线的距离为2,故可求点M 的纵坐标. 【试题详细解答】解：抛物线212x y =的准线方程为18y =-设点M 的纵坐标是y ,则 抛物线214x y =上一点M 到焦点的距离为2 ∴根据抛物线的定义可知,点M 到准线的距离为2 ∴128y += ∴158y =∴点M 的纵坐标是158故答案为：158. 本题以抛物线的标准方程为载体,考查抛物线的定义,解题的关键是将点M 到焦点的距离为2转化为点M 到准线的距离为2. 14. 如图,以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若1DB 的坐标为(2,3,4),则1AC 的坐标为_________.【答案】(2,3,4)- 【试题解答】 【试题解析】由1DB 的坐标为(2,3,4),分别求出A 和1C 的坐标,由此能求出结果.【试题详细解答】解：如图,以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点, 过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,1DB 的坐标为(2,3,4),()2,0,0A ∴,()10,3,4C ,∴1(2,3,4)AC -=.故答案为：(2,3,4)-.本题考查空间向量的坐标的求法,考查空间直角坐标系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,属于基础题.15. 已知命题“[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥”为真命题,则a 的取值范围为_______. 【答案】(,4]-∞ 【试题解答】【试题解析】令()24f x x ax =-+,则对称轴为2ax =,分对称轴在区间之间,区间左边和区间右边三种情况讨论可得.【试题详细解答】解：令()24f x x ax =-+,则对称轴为2a x =, 要使[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥恒成立,即[1,3]x ∀∈,()240f x x ax =-+≥ 当12a x =≤时()21140f a =-+≥解得2a ≤； 当132ax <=<时240222a a a f a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得24a <≤；当32ax =≥时()233340f a =-+≥解得a ∈∅； 综上可得：(,4]a ∈-∞ 故答案为：(,4]-∞点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,属于基础题.16. 斐波那契数列(Fibonaccisequence),又称黄金分割数列,因数学家列昂纳多斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……在数学上,斐波那契数列以如下递推的方法定义：a 1=1,a 2=1,n n 1n 2a a a --=+(n ≥3,n ∈N *),记其前n 项和为S n ,设a 2019=t (t 为常数),则2017201620152014S S S S +--＝________(用t 表示),20172019S a -=________(用常数表示).【答案】 (1). t (2). 1- 【试题解答】 【试题解析】根据斐波那契数列{}n a 满足条件,利用数列的前n 项和的定义,即可得出2017201620152014S S S S +--的值；根据12n n n a a a --=+可得21n n n a a a --=-,求出前n 项和1222n n a a a a a +++⋯+=-,由此求得20172019S a -的值.【试题详细解答】斐波那契数列{}n a 满足：11a =,21a =,*12(3,)n n n a a a n n N --=+∈,设2019a t =,则：2017201620152014S S S S +-- 2017201520162014S S S S =-+- 2017201620162015()()a a a a =+++20182017a a += 2019a =t =；根据12n n n a a a --=+可得21n n n a a a --=-,所以12324321221()()()1n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++⋯+=-+-+⋯+-=-=-, 所以201720192019220192()1S a a a a a -=--=-=-. 故答案为：t ；1-.本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题,关键是对数列的递推公式变形应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四､解答题17. 已知2:60,p x x --≥()22:210q x m x m m -+++≤.(1)若2,m =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围； (2)若q 是p 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围. 【答案】(1){3}(2)(,3][3,)-∞-+∞ 【试题解答】 【试题解析】(1)分别求解一元二次不等式化简p ,q ,然后利用p q ∧为真,取交集求得实数x 的取值范围； (2)求解一元二次不等式化简q ,结合q 是p 充分不必要条件,可得[,1]m m +(][),23,-∞-+∞ ,转化为关于m 的不等式组得答案.【试题详细解答】解：(1)p ：(3)(2)0x x -+≥解得2x -≤或3x ≥ 当2,m =:q 2560x x -+≤解得 23x ≤≤p q ∧为真,即,p q 都为真即2323x x x ≤-≥⎧⎨≤≤⎩或所以x 的取值范围为{3}(2)()22:210q x m x m m -+++≤,即()():10q x m x m ---≤所以:1q m x m ≤≤+, 即:[,1]q m m +因为q 是p 的充分不必要条件, 所以[,1]m m + (][),23,-∞-+∞所以12m +≤-或3m ≥综上：q 是p 的充分不必要条件时,m 的取值范围为(][),33,-∞-+∞本题考查复合命题的真假判断,考查了充分必要条件的判断方法,属于中档题. 18. 已知等比数列{a n }满足a 2=4,a 3a 4=128,数列{a n b n }是首项为1公差为1的等差数列. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .【答案】(1)2nn a =,2n n nb =；(2)222nnn S +=-. 【试题解答】 【试题解析】(1)利用等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可 (2)利用错位相减求和法进行求解即可【试题详细解答】(1)因为数列{}n a 是等比数列,故设首项为1a ,公比q因为24a =,34128a a =所以222128a q a q =, 所以38q =,解得2q,所以12a =所以数列1(1)2n n T n =+-的通项公式为2nn a =因为{}n n a b 是首项为1公差为1的等差数列 所以1(1)n n b n a n =+-=因为2nn a =,所以2n nn b =(2)由(1)知23111112()3()()2222n n S n =++++同乘12得：234+1111111()2()3()()22222n n S n =++++作差得：23+1111111()()()()222222n n n S n =++++- 即+1+111111()()1(1)()22222n n n n n S n =--=-+ 所以222n nn S +=-本题考查求数列的通项以及错位相减求和法,属于基础题19. 在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin sin ()sin b B a A b c C =-+. (1)求角A 的大小.(2)若BC 边上的中线AD =且ABC S ∆=,求ABC ∆的周长.【答案】(1)23A π=(2)862+ 【试题解答】 【试题解析】(1)利用正弦定理将角化边,再由余弦定理可求角A 的大小.(2)由面积公式可得8bc =,再在ABD ∆和ADC ∆中,由余弦定理可得22b c +,最后用完全平方公式可求b c +的值,即可求得三角形的周长.【试题详细解答】解：(1)由已知sin sin ()sin b B a A b c C =-+ 由正弦定理得：222b a bc c =--由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-==- 在ABC ∆中,因为(0,)A π∈,所以23A π=(2)由13sin 2324ABC S bc A bc ∆===,得8bc =①由(1)知222b a bc c =--,即2228b c a +=- ②在ABD ∆中,由余弦定理得：222()(23)223cos 22a a c ADB =+-⋅⋅∠在ADC ∆中,由余弦定理得：222()(23)223cos 22a ab ADC =+-⋅⋅∠因为cos cos ADB ADC ∠=-∠,所以222242a b c +=+③由①②③,得228,56,8a b c bc =+==所以222()27262b c b c b c bc ++=++== 所以ABC ∆的周长862a b c ++=+本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的应用,属于基础题.20. 如图已知斜三棱柱111ABC A B C -中,∠BCA =90°,AC =BC =2,A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ,且13A D =.(1)求证：A 1B ⊥AC 1；(2)求直线A 1B 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值；(3)在线段C 1C 上是否存在点M ,使得二面角111M A B C --的平面角为90°？若存在,确定点M 的位置；若不存在,请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)64(3)不存在,理由见解析. 【试题解答】 【试题解析】(1)作DE AC ⊥交AB 于点E ,分别以1,,DE DC DA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法证明11A B AC ⊥；(2)利用(1)中所建坐标系,求出直线的方向向量和平面111A B C 的一个法向量,则两向量的夹角的余弦值的绝对值即为线与面的夹角的正弦值；(3)假设存在设1(0,3)CM CC λλλ==(01λ≤≤),求出平面11MA B 的一个法向量,根据0m n ⋅=,即可求出λ的值,即可得证.【试题详细解答】证明：(1)方法一：作DE AC ⊥交AB 于点E ,分别以1,,DE DC DA 所在直线为,,x y z 轴建系11(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),3),3)A C B A C -所以,11(2,1,3),3)A B AC =-= 110330A B AC ⋅=+-=,所以11A B AC ⊥方法二：在1Rt ADA ∆中,11,3AD A D ==得112,60AA A AD =∠=所以四边形11ACC A 为菱形,得11AC AC ⊥ 又BC AC ⊥,1BC A D ⊥,11,,ACA D D AC A D =⊂11ACC A 面,所以11BC ACC A ⊥面因为1AC 11ACC A ⊂面,所以1AC BC ⊥又因为11,,AC BC C AC BC =⊂1A BC 面所以11AC A BC ⊥面,因为11A B A BC ⊂面,所以11A B AC ⊥(2)方法一：因为111//A B C ABC 面面,所以面111A B C 的一个法向量为(0,0,1)m = 因为1(2,1,3)A B =-,所以13A B m ⋅=-,1||41322A B =++= 136cos ,4122A B m -<>==-⨯ 设线1A B 与平面111A B C 所成角为α,16sin |cos ,|A B m α=<>=方法二：因为111//A B C ABC 面面,所以线1A B 与平面111A B C 所成的角等于1A B 与面ABC 所成的角,所以1A BD ∠即为所要求.在1Rt A BD ∆中,13A D =,122AB =136sin 422A BD ∠== 线1A B 与平面111A B C 6(3)方法一：不存在,设1(0,3)CM CC λλλ==,(01λ≤≤)11=(2,2,0)A B AB=,11(0,1,33)AM AC CMλλ=+=+-设面11MA B的一个法向量为(,,)n x y z=有111·0·0A B nA M n⎧=⎪⎨=⎪⎩220(1)(33)033x yx yzy zλλλ=-⎧+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨=++-=⎪⎩⎪-⎩1(1,1,33nλλ+=--33m nλ⋅==-,得1λ=-所以不存在点M满足要求.(只猜想不存在也给分)方法二：11111A B D A B C⊥面面1CC与面11A B D的交点N为1CC与1A D的交点且112NCNC=所以在线段1CC上不存在点M满足要求.本题考查了空间位置关系与距离空间角、数量积运算性质、向量夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.21. 在数学建模课上,老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午,423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼(以下简称“国贸中心”)正式封顶,随着最后一方混凝土浇筑到位,标志着东莞最高楼纪录诞生,由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线,比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中,老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后,两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案. 第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A 点测得国贸中心顶部的仰角为α,正对国贸中心前进了s 米后,到达B 点,在B 点测得国贸中心顶部的仰角为β,然后计算出国贸中心的高度(如图).第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼(与国贸中心处于同一水平面,每层约3米)楼顶天台上,进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上,人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置,测量出人与镜子的距离为1a 米；②正对国贸中心,将镜子前移a 米,重复①中的操作,测量出人与镜子的距离为2a 米.然后计算出国贸中心的高度(如图).实际操作中,第一小组测得90s =米,42α=︒,48β=︒,最终算得国贸中心高度为1H ；第二小组测得1 1.45a =米,12a =米,2 1.4a =米,最终算得国贸中心高度为2H ；假设他们测量者的“眼高h ”都为1.6米.(1)请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据：tan 420.9︒≈,1tan 48tan 42︒=︒,答案保留整数结果)；(2)你认为哪个小组的方案更好,说出你的理由. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【试题解答】 【试题解析】(1)对于第一小组,利用锐角三角函数解答；第二小组利用三角形相似可求； (2)从测量难易程度以及数据的误差,对比分析.【试题详细解答】解：(1)第一小组：在Rt BCD ∆中得,tan CDBC β=；在Rt ACD ∆中得,tan CDAC α=因为AC BC s -=即tan tan CD CDs αβ-= 得tan tan tan tan s CD αββα⋅=-90426.310.90.9≈≈-米 1426.3 1.6428H =+≈米第二小组：MKEPQE ∆∆,得1a PQPQ KE EQ MK h⋅⋅==同理NTF PQF ∆∆得,2a PQPQ TF FQ TF h⋅⋅== 因为EQ FQ a -=得12()a a PQa h-⋅= 所以12ah PQ a a =-=12 1.61.45 1.4⨯-384=米所以2311417H PQ =+⨯=米(2)优点：①测量方法较好理解,普适性强；②计算思路简洁；不足：①AB 的距离较长,测量要求高,难度大；②角度测量较难精准,容易造成误差；③场地要求较高； 第二组方案优点：①测量方法有创意(用到镜面成像和相似三角形)；②相对距离短,比较好测量；③只需测量距离,需要的工具少；不足：①两次放镜子相对距离太短,容易造成误差；②镜面放置较难保持水平,容易造成误差；③如果镜面较大,人眼看镜内物像时,两次不一定都看准镜面上的同一个点,易造成误差；④人与镜子的距离差值较小,测量容易造成误差本题考查利用所学数学知识建立数学模型解决实际问题,属于基础题.22. 设圆222150x y x +--=的圆心为M ,直线l 过点(1,0)N -且与x 轴不重合,l 交圆M 于A ,B 两点,过点N 作AM 的平行线交BM 于点C . (1)证明|C M |+|CN |为定值,并写出点C 的轨迹方程；(2)设点C 的轨迹为曲线E ,直线l 1：y =kx 与曲线E 交于P ,Q 两点,点R 为椭圆C 上一点,若△PQR 是以PQ 为底边的等腰三角形,求△PQR 面积的最小值.【答案】(1)证明见解析,点C 的轨迹方程为22143x y +=(0y ≠)；(2)247.【试题解答】 【试题解析】(1)根据几何性质,求得||42CM CN CM CB MB MN +=+==>=,得出C 的轨迹为椭圆,根据椭圆的定义求出椭圆的方程；(2)将曲线E 和直线l 1：y =kx 联立解方程,求出OP =同理||OR =然后根据面积公式结合基本不等式求出面积的最小值即可 【试题详细解答】解：(1)圆222150x y x +--=可化为22(1)16x y -+=所以圆心(1,0)M ,半径4MB =又因为过点N 作AM 的平行线交BM 于点C ,所以//AM NC 又因为||||MA MB =,所以BNC BAM NBC ∠=∠=∠, 所以||||CN CB =所以||42CM CN CM CB MB MN +=+==>=所以点C 的轨迹为椭圆,由椭圆定义可得点C 的轨迹方程为22143x y +=(0y ≠)(2)由(1)可知点C 的轨迹方程为：22143x y +=(0y ≠),直线1:l y kx =与曲线C 交于,P Q 两点,可知0k ≠,设11(,)P x y联立22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22(34)12k x +=解得212221212341234x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩OP ===PQR △是以PQ 为底的等腰三角形RO PQ ∴⊥1RO PQ k k ∴=-则1RO k k=-同理：||OR ==1||||2RPQSPQ OR ∴=2222112(1)12(1)223434++=++k k k k 2= 方法1：222222734432212(1)12(1)24(1)7RPQk k k k Sk +++++=≥==+ 当且仅当223443k k +=+,即1k =±时取等号min 24()7RPQ S∴=方法2：2RPQS===247==≥=当且仅当221k k =,即1k =±时取等号 min24()7RPQ S∴= 此题考查椭圆的定义和性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积问题,考查基本不等式的应用,考查计算能力,属于中档题。