3
46470 10 8 m 4
a
y
z
138.6 106 Pa =138.6 MPa
第七章
弯曲应力
[例2] 试求图示 T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知
Iz = 7.64×106 mm4、 y1 = 52 mm、y2 = 88 mm。
解： 1）画弯矩图
梁的最大正弯矩发生
在截面 C 上，最大负弯 矩发生在截面 B 上，分
对称弯曲
对称截面梁，在纵向对称面承受横向 外力时的受力与变形形式－对称弯曲
第七章
弯曲应力
弯 曲 试 验
第七章
试验现象
弯曲应力
（纯弯与正弯矩作用）
横线为直线, 仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短, 靠底部纵 线伸长 纵线伸长区,截面宽度减小 纵线缩短区, 截面宽度增大 弯曲假设 横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设 各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设
第七章
7.1 概 述
弯曲应力
F
C
a
F
D
a
B
弯曲正应力只与弯矩有关，故 通过纯弯曲梁来研究弯曲正应力.
FS
A
纯弯曲： 梁的剪力恒为零， 弯矩为常量。
F
x
F
x
M
Fa
第七章
弯曲应力
纯弯曲
第七章
弯曲应力
.2 弯曲应力
弯曲正应力
弯曲应力
梁弯曲时横截面上的
弯曲切应力
梁弯曲时横截面上的
A ydA M
yC ydA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
E
中性轴通过横截面形心
(a)(c)
A
y 2dA M
M EI z 1
Iz
A
y2dA－惯性矩
(d)
(d)(a)
( y )
My Iz

max
M Wz
max
Mymax Iz
第七章

C t max
弯曲应力
y1
O
28.8MPa
y2
z
C cmax 17.0MPa
M My 正应力公式： ( y) max Iz Wz （Wz － 抗弯截面系数）
应用条件： max p, 对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
第七章
（1）当中性轴为对称轴时
弯曲应力
d z y b
4 3 Iz πd / 64 πd 实心圆截面 W d /2 d /2 32
第七章
弯曲应力
动画纯弯曲
第七章
弯曲应力
横向纵向面线变形
第七章
弯曲应力
平面假设
第七章
弯曲应力
推 论 梁内存在一长度不变的过渡层－中性层 中性层与横截面得交线－中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴
横截面间绕中性轴相对转动
第七章
弯曲应力
纤维变形
第七章
公式的建立
弯曲应力
几何方面:
( y) E
y1
O
z
y2
别为
4
y
M C 2.5kN m M B 4kN m
M kN m
C
B
2.5
第七章
M C 2.5kN m M B 4kN m
弯曲应力
y1
O
z
y2
4
C
B
y
2）计算截面 C 的最大拉应
力和最大压应力
M kN m
2.5

C t max
MC MC y2 yt max Iz Iz
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响
第七章
弯曲应力
[例1] 图示梁为 No. 50a 工字钢，跨中作用一集中力 F =140kN。
Wz
Iz －抗弯截面系数 ymax
第七章
总 结
弯曲应力
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
( y)
y
结论

( y) E ( y)
dA 0 A
A ydA M
中性轴位置：中性轴过截面形心 中性层曲率：
M （I z － 惯性矩） EI z （EI z － 截面弯曲刚度） 1
静力学方面:
( y)
( y)d d y d

y
(a)
物理方面:
( y) E ( y)
dA0 (b) Fx 0, A M z 0, A ydA M (c)
第七章
弯曲应力
正应力分布
第七章
E
y
弯曲应力
(b)

(a)
dA 0 A
max
M max 280 103 N m 6 150.5 10 Pa = 150.5 MPa -6 3 Wz 1860 10 m
危险截面 C 上翼缘与腹板交界处 a 点的正应力
M a max ya Iz
280 10 N m 0.25 0.02 m
2.5 10 N m 8.8 10
3
2
m
7.64 10 m
6
4
= 28.8 MPa
cCmax
3 2 2.5 10 N m 5.2 10 m MC MC ycmax y1 = 17.0 MPa 6 4 Iz Iz 7.64 10 m
矩形截面
Iz bh3 / 12 bh2 W h/ 2 h/ 2 6 d α D
h
z y D d
πD 3 4 W ( 1 ) 空心圆截面 32
z y
第七章
弯曲应力
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
yc max 和 yt max 直接代入公式
试求梁危险截面上的最大正应力以及翼缘与腹板交界处 a 点的正
应力。 解： 该梁可简化为简支梁
A
F
z
C 8m
a
B
y
1）画弯矩图 跨中截面 C 为危险截面 最大弯矩
M max 1 Fl 280 kN m 4
A
F
C
B
8m
x
M /kN m
280
第七章
2）计算正应力
弯曲应力
查型钢表，No. 50a 工字钢的惯性矩 Iz = 46470 cm4 ，抗弯截面系数 Wz = 1860 cm3 危险截面 C 上的最大正应力
My σ Iz
σ t max My t max Iz Myc max Iz
σc max
yc max
M
z
yt max
y
σ c max
σ tmax
第七章
一些易混淆的概念 对称弯曲与纯弯曲
弯曲应力
对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态