1 2
2
f (x)dx 0
0
以下分三种情况讨论：
( a ) 当 x M x 0时 f ( x M ) f (x 0 ) 0 m a x x[0,2 ] f ( x ) 0 L (b) 当 x M x 0时 ,由 f(x) 的 周 期 性 ， 得 2 f(x0 ) f (x M ) f(x0 ) f (x M ) f(x0 2 ) f (x M ) L (x0 x M ) L (x0 2 x M ) 2 L (c )当 x M < x 0时 , 由 f ( x ) 的 周 期 性 ， 得 2 f(x0 ) f (x M ) f(x M ) f (x0 ) f(x M 2 ) f (x0 ) L(x0 x M ) L(x M 2 x0 ) 2 L 从 而 由 ( a ) ， ( b ) ，(c )知 道 m a x xR f ( x ) L
则 f ( x0 ) 0.证 明 ： f ( x )在[0,1]上 只 有 有 限 个 零 点 。
证 明 ： 设 若 不 然 f ( x )在 [0,1]上 有 无 穷 多 个 零 点 ， 不 妨 设 { x n } [0,1], f (x n ) 0, n 1, 2
则 存 在 { x n }的 一 个 子 列{x nk } , 使 得 x nk x0 ( k )且 f (x nk ) 0， 从 而 f ( x0 ) 0
4（. 16） 将 方 程 x u

y
u

0变 为 以 极 坐 标 r, 为 自 变 量 的 形 式 ， 其 中 极 坐 标
y
x
变 换 为 x=rcos ,y=rsin ,(r 0)
苏州大学
2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
1.(20 ')求 下 列 极 限
（1）lim n a n b n , (0 a b )
n
解 ： 因 为 n bn n a n bn n 2bn
而 lim n b n lim n 2b n b
n
2
（1）0 f ( x )dx 0
(2) f (x) f ( y) L x y ,x, y R
证明 ：（1） f(x)在 R上可 以取到 最大值 ，最小 值
（ 2） max xR f ( x ) L 证 明 ： （ 1） 由 f (x) f ( y) L x y ,x, y R知
0, 0, 取 x0 [0, 2 ], x [0, 2 ],当 x x0 时 ， 有 f ( x) f (x0 ) L x x0 取 ,则 有 f (x) f (x0 ) ,
L 从 而 f ( x )在[0, 2 ]上 连 续 ， 既 f ( x)在[0, 2 ]上 可 以 取 到 最 大 值 ， 最 小 值
2
1
lim
f (a ) 2
f (a )
x a f (a )( f ( a ) f ( a ) ( x a ) o (( x a ))
2[ f (a )]2
2
2.(18 ')设 f ( x )在[0，1]上 可 微 ， 且 f ( x )的 每 一 个 零 点 都 是 简 单 零 点 ， 即 若 f ( x0 ) 0
1
1
( x a ) f (a ) ( f ( x) f (a))
lim (

) lim (
)
x a f ( x ) f (a ) ( x a ) f (a ) x a ( f ( x ) f (a ))( x a ) f (a )
( x a ) f (a ) (f( a ) ( x - a ) + f( a ) ( x a ) 2 o (( x a ) 2 ))
பைடு நூலகம்
又 f ( x)是 R上 的 2 周 期 函 数 ， 所 以 f(x)在 R上 可 以 取 到 最 大 值 ， 最 小 值 。
（ 2 ） 令 f ( x M ) m a x x[0 ,2 ] f ( x )
由
2 0
f ( x ) d x 0知 x 0 [0, 2 ]， 使 得 f (x 0 )
lim (
2
x a ( x a ) f ( a )(f ( a ) ( x - a ) + f ( a ) ( x a ) 2 o (( x a ) 2 ))
2
- f ( a ) ( x a ) 2 o (( x a ) 2 )
lim
2
x a ( x a ) f ( a )(f ( a ) ( x - a ) + f ( a ) ( x a ) 2 o (( x a ) 2 ))
n
因 此 lim n a n b n b
n
1 (2) lim (

1
), 其 中 f ( a ) 0, f ( a )存 在
x a f ( x) f (a ) ( x a ) f (a )
解 ： 由 于 f (a ) 0, f ( a )存 在 ， 从 而 f ( x ) = f ( a ) + f( a ) ( x - a ) + f( a ) ( x a ) 2 o (( x a ) 2 ) 2
则f
( x0 )

lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x x0
f (xnk ) f (x0 ) 0与 题 设 相 矛 盾 ！ x x0
所 以 f ( x )在[0,1]上 只 有 有 限 个 零 点 。
3.(20 ')设 f ( x )是 R 上 的 2 周 期 函 数 ， 满 足 ：