直齿轮强度的模糊可靠性设计课程名称：现代设计方法姓名：学号：sssss班级：ffffff指导老师：vfffff齿轮传动的可靠性优化设计摘要：本文介绍可靠性设计与优化设计有机结合的理论和方法。

并对可靠性优化设计如何应用于齿轮传动设计中进行了较详细地讨论，最后通过一个实例说明其实现方法。

关键词：齿轮传动可靠性设计优化设计0引言：作用在零部件上的载荷和材料性能等都不是定值，而是随机变量，具有明显的离散性质，在数学上必须用分布函数来描述，由于载荷和材料性能都是随机变量，所以必须用概率统计的方法求解，可靠性设计认为所设计的任何产品都存在一定的失效可能性，并且可以定量地回答产品在工作中的可靠程度。

传统的机械设计中，很早就存在着“选优”的思想。

设计人员可以同时提出几种方案，通过分析评价后，选出较好的方案加以采用，这种选优方案在很大程度上带有经验性，也有他的一定的局限性。

而现代设计方法中的优化设计则可以避免以上弊端，充分发挥计算机强大的运算和编程功能，使优化算法与计算机相结合运用于机械设计中。

常规齿轮传动的设计是将齿轮所受载荷、应力和强度都视为定量，按一定的强度条件进行设计或校核，这种常规设计安全系数一般比较保守，不仅造成材料的浪费增加成本，往往由于一个参数的改变，而影响其它参数的确定，并且由于考虑齿轮传动的应力、强度及各几何参数的不确定性，引起的误差与实际不符，也不能保证绝对安全，设计出的齿轮传动质量差、可靠性低、承载能力小。

因此，为了使齿轮传动设计既贴近实际工况，又有最优方案，提出将优化设计和可靠性设计理论有机结合起来的设计方法，该方法无论对缩小尺寸、减轻重量提高承载能力和保证设计可靠性均有现实意义，可靠性优化设计能给程界带来了巨大经济效益，随着技术更新和产品竞争的加剧，可靠性优化设计的发展前景非常的广阔。

1.齿轮传动的可靠性计算1.1 齿面接触疲劳强度的可靠度计算由文献【1】知，圆柱齿轮齿面的接触应力为：12t A V H H H H E 1F K K K K U 1=Z Z Z Z d b U βαεβσ⎛⎫±⎪⎝⎭ （1）式中Z H ——节点区域系数，标准齿轮=2.5；Z E ——弹性系数，2/mm N ；Z ε——重合度系数 ；Z β——螺旋角系数；F t ——端面内分度圆上的切向力(N) ；d 1——小齿轮的分度圆直径(mm) ；b ——工作齿宽( mm)，指一对齿轮中较小的齿宽 ；U ——大齿轮与小齿轮的齿数比(z 2／z 1)，z 1，z 2分别为小齿轮和大齿轮的齿数；K A ——使用系数；K V ——动载系数；βH K ——接触强度计算的齿向载荷分布系数；αH K ——接触强度计算的齿间载荷分配系数。

由文献【1】可知，齿面接触强度的计算公式为：Hlim N L V R W XHP HlimZ Z Z Z Z Z =S σσ （2）式中Hlim σ——试验齿轮的接触疲劳极限(MPa)；N Z ——接触强度计算的寿命系数；Z Ｌ—— 润滑剂系数；Z V ——速度系数；Z Ｒ——粗糙度系数，Z Ｗ——工作硬化系数；Z X ——接触强度计算的尺寸系数；Hlim S ——接触强度的最小安全系数。

从理论上讲，式（1）、（2）中各参数除传动比U 外，都是具有一定分布规律的随机变量。

实际上，一些与齿轮几何尺寸有关的参量可能的取值区间很小，故笔者将它们视为确定变量；那些分布情况目前尚难以确定的参数，也暂假定为确定量。

这样引起的误差一并用计算系数H K 来考虑，的确定方法详见文献【2】。

由文献【2】知，用变异系数法可求得接触应力的均值。

变异系数和标准差分别为：12H t A V H H H H E 1K F K K K K U 1=Z Z Z Z d b U βαεβσ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭（3）()H N H T V H H V H V H H H 12222222Z K F K K K K K K K K K 1C =C +C +C +C +C +C +C C +C C +C C 4βααβαβσ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（4） H H H S =C σσσ （5）式中N Z C ，T F C ，V K C ，αK C ，βK C 分别为各相应参量的变异系数。

由文献【2】知，用变异系数法可求得接触强度的均值、变异系数和标准差分别为：N L V R W XHlim HP HlimZ Z Z Z Z Z =S σσ （6）HP Nlim NLVR W12222222Z Z Z Z Z C =C +C +C +C +C +C σσ⎡⎤⎣⎦ （7）HP HP HP S =C σσσ （8）式中Hlim σ、lim C σ、N Z 、N Z C 、L Z C 、V Z C 、R Z C 、W Z C 等分别为相应参数的均值和变异系数假设轮齿齿面的接触应力和接触强度都服从于正态分布，则根据应力强度干涉理论建立接触疲劳强度的可靠度联接方程。

若设计要求的可靠度为R ，与之相应可靠性指数Z R ，其值可由正态分布表查得。

则有Z R -Z H ≤0即H R -Z σσ （9）求得H R Z 之后，便可从正态分布表中查得可靠度；()H R H Z R φ= （10）1 .2 轮齿弯曲疲劳强度的可靠度计算由文献【1】可知，圆柱齿轮齿根弯曲应力的计算公式为 ： tF F s s A V F F nF =Y Y Y Y K K K K bm αβαβασ （11）式中t F ——端面内分度圆上的名义切向力(N) ；b ——工作齿宽(mm)；n m —— 法向模数 ( mm) ；αF Y ——载荷作用于齿顶时的齿形系数，αS Y ——载荷作用于齿顶时的应力修正系数；S Y ——弯曲强度计算的重合度系数；βY ——弯曲强度计算的螺旋角系数 ；A K ——使用系数； V K ——动载系数；βF K ——弯曲强度计算的齿向载荷分配系数；αF K ——弯曲强度计算的齿间载荷分配系数。

由文献【1】可知，齿根的弯曲强度计算公式为：FP Flim ST NT Srel Rrel X Flim =Y Y Y Y Y /S σσ （12）式中Flim σ——试验齿轮齿根弯曲疲劳极限；ST Y ——试验齿轮的应力修正系数，如用本标准所给Flim σ值计算时，取ST Y =2.0；Flim S ——弯曲强度的最小安全系数；NT Y ——弯曲强度计算的寿命系数；Srel Y ——相对齿根圆角敏感系数；Rrel Y 一——相对齿根表面状况系数；X Y ——弯曲强度计算的尺寸系数。

在求齿根弯曲应力的均值和变异系数时，同处理齿面接触应力的方法一样，在式（13）的基础上也增添一个计算系数F K ，F K 的确定方法详见文献【2】。

故根据上式可求得齿根弯曲应力的均值、变异系数和标准差分别为：t F V F F F F s s A n K F =Y Y Y Y K K K K bm αββαασ （13）F F t F F F F F 122222K F KV K K K K KV K KV C =C +C +C +C +C C +C C +C C ααβαβσ⎡⎤⎣⎦ （14）F F F S =C σσσ （15）式中F σ 、F C σ，t F 、t F C … 分别为相应参数的均值和变异系数。

由文献【2】知，采用变异系数法可求得齿根弯曲强度的均值，变异系数和标准差分别为 ：FP Flim ST NT Srel Rrel X Flim =Y Y Y Y Y /S σσ （16）FP Flim NT 1222Y C =C +C σσ⎡⎤⎣⎦ （17）FP FP FP S =C σσσ （18）假设齿根弯曲应力、强度服从于正态分布，则齿根弯曲疲 劳强度可靠度的联结方程为：RF -Z σσ （19）求得RF Z 后，便可从正态分布表中查得可靠度：()F R F Z R φ= （20）2.建立可靠性优化设计的数学模型2 .1确定设计变量在传动比和传递功率一定的条件下斜齿圆柱齿轮传动需确定的参数为： 齿面的法面模数n m 、小齿轮齿数1Z 、 螺旋角β、 齿宽系数D φ。

故取设计变量为：X= (1x ，2x ，3x ，4x )T = (n m ，1Z ，β，D φ )T （21）2 .2 建立目标函数圆柱齿轮传动优化设计的目标函数可选择多种，一般情况下，以最小体积为目标来设计圆柱齿轮传动，无论是在减轻重量、缩小体积方面，还是在节约材料、降低成本等方面均有很大的现实意义。

故选用斜齿圆柱齿轮传动的体积最小为可靠性优化设计追求的目标。

由于斜齿圆柱齿轮的精确体积计算十分复杂，为了简化计算，用分度圆圆柱体积来近似代替齿轮的体积，这样可建立目标函数为：()()332n 1D 3M Z F X =1U 4cos πφβ+ （22）2 .3 建立约束条件圆柱齿轮传动的可靠性优化设计约束条件包括齿轮强度的可靠度约束、一般性能约束和几何边界约束等。

2.3.1 齿轮强度的可靠度约束由联接方程（9）和（19）可以建立齿轮接触和弯曲疲劳强度的可靠度约束方为 ：02211111≤+--H HP S S Z H HP RH σσσσ （23）02222222≤+--H HP S S Z H HP RH σσσσ （24）02211111≤+--F FP S S Z F FP RF σσσσ （25）02222222≤+--F FP S S Z F FP RF σσσσ （26）式中HP1σ（HP2σ），HP1S σ（HP2S σ）为小(大)齿轮, 用疲劳接触应力的均值和标准差H1σ(H2σ,H1S σ,H2S σ)为小(大)齿轮计算疲劳接触应力的均值和标准差；FP1σ（FP2σ），FP1S σ（FP2S σ）为小(大)齿轮用弯曲应力的均值和标准差; F1σ(F2σ)为小(大)齿轮计算弯曲应力的均值和标准差；RH1Z ，RH2Z ，RF1Z ，RF2Z 分别为预定可靠度指标H1R ，H2R ，F1R ，F2R 所对应的可靠性系数，H1R ，H2R ，F1R ，F2R 可根据要求整个齿轮传动的可靠度指标按最优分配法确定。

2.3.2重合度约束斜齿圆柱齿轮传动的重合度e 应大于等于1，即：()D 112tan =Z +U +1ααφβεεεπ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦ （27） 式中1a ε——小齿轮的端面重合度系数；a2ε——大齿轮的端面重合度系数。

2.3.3大齿轮分度圈直径的上、下限约束n 1min max UM Z d d cos β≤≤ （28）式中min d ——大齿轮分度圆直径的下限(mm)；max d ——大齿轮分度圆直径的上限(mm) 。

2.3.4齿宽的上、下限约束D n 1min max M Z b b cos φβ≤≤ （29）式中min b ——齿宽的下限；max b 一——齿宽的上限2.3.5 各设计变量的上、下限约束nmax n nmin m m m ≤≤ （30）max min βββ≤≤ （31）1max 11min Z Z Z ≤≤ （32）Dmax D Dmin φφφ≤≤ （33）3.可靠性优化数学模型的求解方法由上面讨论可知，圆柱齿轮传动的可靠性优化问题是一个具有复杂约束的非线性规划问题，设计变量有整形变量、离散实型变量和连续实型变量，如采用连续变量优化方法求解往往得不到问题的真正最优解。