导数的应用之优化问
题
导数的综合应用－－优化问题
广东省和平县福和高级中学高三数学组颜贞
1.知识与能力
通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活优化问题。
2.过程与方法
让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用导数法解决优化问题的方法。
3.情感、态度与价值观
形成数学建模思想，培养学生应用数学意识，进一步体会导数作为解决函数问题的工具性。
激发学生学习热情，培养学生解决问题的能力和创新能力.
4.教学重点和难点
优化问题的数学建模与求解方法的掌握.
上课内容详细分解：
一、复习导数作为工具的具体体现：
1．解决函数的单调性
2．解决函数在某一区间内的极值或最值
3．知识点的综合运用
二、提出本节课听课要求
1．深化理解导数作为工具的卓越表现力
2．掌握用导数法解决生活中优化问题的一般步骤
3．解决生活中优化问题时应注意的问题
三、回顾解决优化问题的一般常用方法
1.基本函数型（如二次函数型，指数对数型）
2.基本不等式型
3.线性规划型….
最后提出本节课的目的：用导数法解决实际生活中的优化问题.
【设计理念：通过复习知识点，构建学生的知识网络，对开展进一步的教学有一定的好处，也适合学生的学习习惯。
】
四、探究实例一（用料最省问题）
老师：设圆柱形金属罐的容积一定，请问怎么来设计它的高与底面的关系，才能使所用材料最身？
学生：积极探索，寻求关系并初步分析问题。
部分学生可以解决问题. 老师：（详细分析）
解：设圆柱的高为h ，底面半径为r ，容积为V 。
则用料最省问题即可转化为求圆柱体的表面积最小问题。
可找函数关系：222r rh S ππ+=，
由V=22r V h h r ππ=
⇒，有2222222)(r r V r r V r r S ππππ+=+⋅=.令0)(='r S ，可求得时用料最省。
达到最大，即此时r V r
V h S V r 24,2323====πππ 【设计理念：探究性学习是我们在新课程改革中一个很重要的成果，通过这道实际例题，既可以培养学生的学习热情，又可以充分调动学生的积极探索的欲望，真正将学生从“要去学”转变到“我要学”.】
五、探究实例一的变式 （问题转化为利润型问题）
老师：某制造商制造并销售瓶装球形饮料，瓶子的制造成本是0.82r π 分/个，已知每出售1mL 饮料，获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm 。
请分析瓶子的半径与利润的关系.
学生：同桌之间开始讨论，有的在独立思考.
老师：（详细分析）
解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是
亏本了！
时，利润最小。
此时故当半径为的增大而增大。
即利润随着时，当的增大而变小。
即利润值随着时，当解得令,0)2(2,0)(]6,2(,0)()2,0(2,0)(.60),3
(8.08.0342.0)(2323<>'∈<'∈==='≤<-=-⋅==f r r f r r r f r r r f r r r r r r f y πππ【设计理念：通过变式，可以达到很多教学效果。
如重新唤起学生的学习热情，调动学生的思维能力等等，将一些原本想开下小差的学生重新拿回到课堂上来。
这道变式也是一个现实问题，学生通过学习不仅仅可以掌握知识，还可以理解到数学的应用性是非常广泛的。
对于培养学生的数学应用意识大有好处，且对开拓学生的创新意识也有积极的作用.】
老师：通过上面两个探究体型的分析请同学们总结优化问题的步骤。
学生：（由老师帮助归纳出）
1. 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系。
2. 求函数的导数，求极值点
3. 比较函数在区间的端点和极值点的大小关系，判断结果.当定义域在开区间上有唯一的极值时，则该点就是取到最值的点.
六、课堂练习1：（层次一）基础过关，学科穿插：
近距离。
上，求出该人与车的最追不个人能否追上汽车？若加速度开始行驶。
问这的
时，红灯变绿，汽车以当他离汽车灯前的汽车，
的速度跑去追赶停在红一个人以2/125/6s m a m s m =
老师：（作详细分析）借助物理学相关知识建立数学模型
解： 假设经过时间t 秒后人能够追上汽车，此时人所走的位移为t S 61=，汽车所走的位移为化简得则.252
6,2212
222=-==t t t at S
050412,0501222<⨯-=∆=+-由于t t ，故此方程无解。
所以人追不上汽车。
由于人追不上汽车，所以经过时间t 秒后人与汽车的距离为：
.7660)(,6252
25)(2
12m t t t f t t S S t f 时，人与车距离最近为。
故当得令==='-+=-+=【设计理念：抓好“双基”是教学关键。
先构建学生的知识层面，再继续培养学生的能力思维是必须的。
这题是一道学科穿插题，不是很难，但符合这几年高考的一种出题方向，对培养学生的思维分析能力有一定的帮助。
】
练习2：（层次二）真题模拟，强化能力
1x 15已知某曲线上的任意点到点F(0,)4
21的距离比到直线L ：y=的距离小。
4
若一矩形的两个顶点在轴上，另两个顶点位于该曲线在x 轴上方的曲线
上，求这个矩形面积最大时的边长.
老师：要找到问题的突破口必须将曲线的轨迹方程先求出来。
通过题意可知，该曲线为抛物线。
（平面上到定点的距离等于到定直线距离的点轨迹为抛物线！）通过分析，化归。
该曲线线是以顶点在原点，焦点坐标为
4
1),41,0(=-y 准线方程为的抛物线向上平移了4个单位得到的。
故该抛物线的方程为24x y -=.要形成矩形，有抛物线的对称关系。
可设在x 轴上的顶点AB=2x ，且OA=OB=x ，)2,0(∈x 。
则24x BC -=，
3
32,332,0)(.2,28)4(22132-==='<<-=-⋅=x x x f x o x x x x S 解得令（舍去） 故当332=x 时，S 取得最大值。
此时矩形的边长为3
8,334. 老师再设问：借助图像和这个数学模型，请同学们发挥想象，它适合一些什么现实问题？
学生：隧道过车，拱桥过船等等.（大家踊跃发言）
【设计理念：作为毕业班的学生，课堂尽量服务于高考，所以真题模拟训练是少不了的。
在练习一的基础上，进一步的加大难度，深化到圆锥曲线里面去，不仅考察知识点，还考察学生对问题的分析能力和解决能力。
这道题，具备一定难度，但可以发散思维，培养学生的数形结合，转化与化归的数学思想。
】
七、最后在学生发言老师概括中，总结优化问题时应注意的问题：
1、要注意函数中变量的实际意义，或现实背景的要求.
2、要进行必要的文字说明或符号设定
3、最后要进行优化说明或者作答！
八、布置作业：《名师大讲堂》练习.
2009.10.15完稿。