C
E dl ( Ein Ec ) dl
C
B dS S t
（5-7） （5-8）
E ( Ein Ec ) Ein
B t
♠ 当导体回路 C以速度运动 v 时，利用关系式
和 B 0，可以得到
d B B d S dS S S dt t
显然这个结果应该是正确的）。 假定非静态情况下方程 H J仍然成立，对此方程 边取散度，有 ( H ) J 。利用恒等式 ( A) 0, 得J 0 （一个结果是在假定静态场的安培环路定律 在非静态时仍然成立的条件得出的）。 解决矛盾的方法:必须对静态情况下所得到的安培 环路定律作相应的修正。 修正的思路： 1. 在方程的右边加入一个附加项 J d ,即有 H J J d , 且J d 满足 (J J ) 0 ; 2. 加入的 J d 应该具有合理的物理意义。
Ein
这就是，是时变场的一个基本方程，同时也是麦克 斯韦方程组中的一个方程。对法拉第电磁感应定律 的解释：
B t
(5-6)
♠ 式中的电场强度 Ein 是因磁场随时间变化而 激发的，称为感应电场。 ♠ 感应电场是有旋场，其旋涡源为 B ，即磁场随 t
时间变化的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状
第五章 时变电磁场
主要内容： 本章在介绍法拉第电磁感应定律及位移电流假 说之后，导出麦克斯韦方程组和它在电磁边界上的 形式，再由麦克斯韦方程组的限定形式，导出坡印 廷定理及波动方程；在引入动态位的概念之后，导 出动态位所满足的达朗贝尔方程，并通过其解的物 理意义，引入滞后位；在介绍时谐场的复数表示之 后,介绍麦克斯韦方程组、坡印廷定理、波动方程 及达朗贝尔方程的复数形式。最后，介绍电与磁的 对偶性 。
当回路静止时，磁通量的变化是因磁场随时间 d 变化而引起的，时间导数 dt 可以换成时间偏导数 t， 并且可以移到积分内，故有

C
Ein dl
B dS S t
(5-5)

2. 法拉第电磁感应定律的微分形式 利用斯托克斯公式， C A dl S A dS 并考虑到回路 c(或面积s)的任意性，得
的改变，即
in
(5-2) 式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻 止回路中磁通量的变化。这里已规定：感应电动势 的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系。 设任意导体回路围成的曲面为，其单位法向矢量为， n 如图5.1所示。
B
d dt
s
C
图5-1 感应电动势的正方向和磁通的方向
5.1 法拉第电磁感应定律 一、 法拉第电磁感应定律 感应电动势：法拉第发现当穿过导体回路的磁 通量发生变化时，回路中就会出现感应电流，表明 此时回路中存在电动势，这就是感应电动势 。
著名的法拉第电磁感应定律：法拉第发现进一步 的研究发现，感应电动势的大小和方向与磁通量的 变化有密切关系。
当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时 回路中就会产生感应电动势 in ，其大小等于磁通量 的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量
回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通 S B dS d 于是（5-2）可以写成 in dt S B dS （5-3） 二、法拉第电磁感应定律的积分与微分形式 从一般意义上讲，电流是电荷的定向运动形成的， 而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结果。 所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感应电 流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场不是 电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化而引 起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在电场 力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功为 C Ein dl 它等效于电源对电荷所做的功，即电源电动
势。此时电源电动势就是感应电动势 in , 有
in

C
Ein dl
（5-4）

时间的变化率，而磁通量变化的原因可以归结为两 个：回路静止（既无移动又无形变），磁场本身变 化；磁场不变，回路运动（包括位移和形变）。 1.法拉第电磁感应定律的积分形式
d 式（5-3） dt SB dS 右边的表示穿过面积s的磁通量随
时，其内部的电荷随之运动，导体中电荷受到的洛 伦兹力为 F qv B。显然，导体中的感应电场实际上 是导体中单位电荷所受的洛仑兹力，同时也可以说 明，感应电场是由于电荷在磁场中运动而形成的。
5.2 位移电流
矛盾分析:
★静态下: E 0 ， B E ★★非静态下: (法拉第电磁感应定律所揭 t 示的一个极为重要的电磁现象—变化的磁场可以激 发电场)。 ★静态下，安培环路定律 H J ， ★★非静态下，安培环路定律是否也有所变化呢？如 果发生变化，又会产生什么物理现象呢？ 0 J 0 ★★非静态情况下, t 再由电荷守恒定律 t 0 得 J （这一个结果是由电荷守恒定律得到的，而 电荷守恒定律是大量试验总结出的普遍规律，显然这
d v dt tFra bibliotekC
(B v ) dl
（5-9）
等式右边的两个积分分别对应着磁场变化和导体运 动的贡献。当磁场不随时间变化时，有

C
E dl
d B dS dt S

C
(v B ) dl
（5-10）
比较等式两边，E
F v B。得当导体在磁场中运动 q
的电场分布。故又称 Ein为涡旋电场。
♠ 式（5-6）虽然是对导体回路得到的，但是它对任意
回路（不一定有导体存在）同样成立。 ♠ 当磁场随时间的变化率为零时，有 Ein 0,这与静 电场所得的形式完全相同，因此静电场实际上是时 变电场的特殊情况。 如果空间中还存在静止电荷产生的库仑电场 Ec , 则总电场为 E Ein Ec ，这时