cos

2kπ n

i sin
2kπ n

(k 0, 1, 2, )
当 k 0,1,2, ,n 1时,得到 n 个相异的根 :
w0

r
1 n

cos
n

i
sin
n
,
w1

r
1 n

cos
2π n

i
sin
2π n
,
对于 x, y R, 称 z x yi或 z x iy 为复数.
实部（Real）
记做：Re(z)=x
虚部(Imaginary) 记做：Im(z)=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0时, z x 0i x为实数.
3. 两复数相等: 当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
n(cosn i sin n ) r(cos i sin )
于是 n r, cosn cos , sin n sin ,
显然 n 2kπ, (k 0, 1, 2, )
故
1
rn,
2kπ ,
n
w

n
z

r
1 n
z1 z2 z1 z2 z1 z2
等号成立的充要条件是 z1, z2位于同一直线上．
y
几何意义如图：
z2 z1 z2
z1 z2
z1
o
x
5、 复数的三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos

y

r
sin
复数可以表示成
z x iy
r(cos i sin )
4、复数的幂与方根
1） n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义 zn 1 , 那么当 n 为负整数时, 上式仍成立. zn

r
1 n

cos


2kπ n


i sin
2kπ n

( k 0, 1, 2, , n 1 )
从几何上看, n z 的 n 个值就是以原点为中心,
1
r n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
推导过程如下：
设 z r(cos i sin ), w (cos i sin ),
对于复数的乘、除、幂、开方运算，一般情况下以 三角形式、指数形式来运算比较方便.
z 0 辐角的主值
arg z
arctan y , x
π , 2
arctan y π , x
π,
x 0, x 0, y 0, x 0, y 0, x 0, y 0.
(其中 arctan y )
2
x2
பைடு நூலகம்
（ⅲ） 复数模的三角不等式
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z 12 2i; (2) z 12+2i;
(3) z sin i cos ;
5
5
解 (1) r z 12 4 4,
Q z 在第三象限,


arctan

2 12


π
arctan
则可将复数与复平面上的点一一 对应起来, 建立数点等同
的观念，这称为复数的点表示法.
y
横轴即x轴上的点对应复数的实部，
虚轴
所以也称x轴为实轴；
y
纵轴即y轴上的点对应复数的虚部，
z x iy
(x, y)
所以也称y轴为虚轴；
oxx
由实轴和虚轴确定的平面称为复平面.
实轴
（2）复数的向量表示
复数z x iy也可用复平面上的向量OP 表示 向量具有两个重要的属性：长度、方向. （ⅰ）复数的模 该向量的长度称为 z 的模或绝对值, y
第一节 复数及其表示 第二节 复变函数
一、复数的概念及其表示 二、复数的运算 三、复球面及无穷大 小结与思考
一、复数的概念及其表示
——“复合”而成的数 1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解.
为了解方程的需要 ,引入一个新数 i, 称为虚数单位.
对虚数单位的规定: (1) i2 1; 即 i 1;
6、 复数的指数表示法
利用Euler公式
欧拉资料
ei cos i sin ,
则复数z r(cos i sin )可以表示为：
z rei
小结
本课学习了复数的有关概念、性质、四种表 示形式及相关的运算. 重点掌握复数的四种表示 形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形 式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.
3)
3
5,
6

z

4
cos
5 6


i
sin
5 6



5i
4e6 .
(3) z sin i cos
5
5
显然 r z 1,
sin

5

cos

2


5

cos
3
10
,
cos
5

sin

2


5


sin
3
10
,
思考题2
是否任意复数都有辐角?
参考答案
否. 唯有 z 0的情况特殊, 它的模为零而辐角不确定.
二、复数的运算
1、复数的代数形式的四则运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 1） 两复数的和差: z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ). 2） 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).

wn1

r
1 n

cos

2(n n

1)π

i
sin

2(n n

1)π
.
当 k 以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
wn

r
1 n

cos

2nπ n

i sin
2nπ n

r
1 n

cos
n

i
sin
n

小结
本课学习了复数的三种表示形式对应的运算. 熟练掌握复数的各种运算，一般要区分出复数的 实部与虚部时，用代数形式比较方便.
设复数z1和z2的指数形式分别为 z1 r1ei1 , z2 r2ei2 , 则 z1 z2 r1 r2ei(12 ) . 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cosk i sink ) rkeik , (k 1,2, , n)
z1 z2 zn r1 r2 rn[cos(1 2 n ) i sin(1 2 n )]
r1 r2 rnei(12 n ) .
2）除法
ⅰ）三角形式的除法
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2(cos2 i sin2 ),
(2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算.
(3)虚数单位的特性:
i1 i; i2 1; i3 i i2 i; i4 i 2 i 2 1; ……
i 4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
nZ.
i:虚数单位 2. 复数的代数形式的定义:
Pz x iy
无穷多个辐角.

o
x
x
如果1 是其中一个辐角, 那么 z 的全部辐角为 Argz 1 2kπ (k为任意整数). 特殊地, 当 z 0时, z 0, 辐角不确定.
辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0 称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z.
3
3
5,
6

z

4
cos

5 6



i
sin


5 6


5 i
4e 6 .
(2) z 12 2i
r z 12 4 4,
Q z 在第二象限,


arctan

2 12

+π
arctan（-
2）棣莫佛公式
棣莫佛资料
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cosn i sin n . 棣莫佛公式
3）n 次方根
给定复数 z，方程 wn z 的根称为 z 的 n 次方根 ,
记为 n z . 可以推得:
wk

n
z
对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.
从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1, z2 ,
•z
先把 z1 按逆时针方向旋转一个角2 ,
y
r
• z1