c 1，
解：（Ⅰ）由题意得

c a

1， 2
a 2，
解得
b

3.
a2 b2 c2.
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 43
分
（Ⅱ）设 M x1 , y1 , N x2 , y2 (x1 1且x2 1) .
y k x 4,
，
x1x2

2k 2 2k 2
2 1
.
由已知， x2 0 ，
则直线 AD 的方程为 y 1 y2 1 x ，令 x 1 ，得点 E 的纵坐标 x2
yE

x2
y2 x2
1
.把
y2

k x2
1 代入得
yE

x2
1(1 k)
x2
.
由已知，
x1


4 3
，则直线
BC
综上， |AB ' | 的取值范围是 ( 2, 2 2] . 【东城】(19)（本小题 13 分）
已知椭圆 C :
x2 a2

y2 2
1 过点 P(2,1) .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求其离心率； （Ⅱ）过点 P 作 x 轴的垂线 l ，设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上（点 A 不在直线
0) 的右焦点为 F (1, 0)
，离心率为
1 2
，直线
l : y k(x 4) (k 0) 与椭圆 C 交于不同两点 M , N ，直线 FM , FN 分别交 y 轴于 A, B 两点.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）求证： | FA || FB | .
18.（共 14 分）
所以
x1

x1x2
x2
8k 2 2k 2 1
8k 2 2 2k 2 1
因为 B '(x2 , y2 )
所以 |AB ' | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
因为 (x1

x2 )2
(x1

x2 )2
4x1x2

8 16k 2 (2k 2 1)2
【海淀】18．（本小题满分 14 分） 椭圆 x2 y2 1 的左焦点为 F，过点 M (2, 0) 的直线 l 与椭圆交于不同两点 A,B 2
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若点 B 关于 x 轴的对称点为 B’，求 AB ' 的取值范围.
解：（Ⅰ） 因为 a2 2,b2 1，所以 a 2,b 1,c 1
【西城】19．（本小题满分 14 分）
…………………14 分
x2 已知椭圆 C：a2

y2 2
1(a

2)
2
的离心率为 2 ，左、右顶点分别为 A, B ，点 M 是椭
圆 C 上异于 A, B 的一点，直线 AM 与 y 轴交于点 P .
（Ⅰ）若点 P 在椭圆 C 的内部，求直线 A M 的斜率的取值范围；
2 ) .………………
2
6分
（Ⅱ）由题意 F (
2,0) ，设 M (x0 , y0 ) ，其中 x0
2 ，则
x02 4

y02 2
1.
所以直线 AM 的方程为 y y0 (x 2) . x0 2
……………… 7
分
令 x 0 ，得点 P 的坐标为 (0, 2 y0 ) . x0 2
2,
2 y0
)
，
x0 2
x0 2
得
FP FQ 2
4 y02
2x02 4 y02 8 0 ，
x02 4
x02 4
所以 FP FQ ，即 PFQ 90 ，
……………… 12 分
所以 PFQ 为定值.……………… 14 分
（Ⅱ）设椭圆 C 的右焦点为 F ，点 Q 在 y 轴上，且 AQ//BM ，求证： PFQ 为定值.
19．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）由题意，得 c2 a2 2 ， c 2 ， a2
分
……………… 2
解得 a 2 ， c 2 ，所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1. ……………… 3 分 42
……………… 8
分
因为 kMB

y0 x0
2
，所以 kAQ

y0 x0
2
.
所以直线 AQ 的方程为 y y0 (x 2) . x0 2
………………10 分
令 x 0 ，得点 Q 的坐标为 (0, 2 y0 ) . x0 2
由
FP (
2,
2 y0
) ， FQ (
设 C x1, y1 ， D x2 , y2 ， l2 的方程为 y k(x 1) （ k 1）.
y k(x 1)

由
x2 2

y2
1
消去
y
，整理得
2k 2 1
x2 4k 2x 2k 2 2 0 .
则
x1 +x2

4k 2 2k 2 1

由
x2 4

y2 3
1.
得 4k 2 3 x2 32k 2 x 64k 2 12 0
………………5
依题意 = 32k 2 2 4 4k 2 3 64k 2 12 0 ，即 0 k 2 1 . 4
则
x1
【石景山】18. （本小题 14 分）
已知抛物线 C : y2 2 px 经过点 P(1, 2) ，其焦点为 F ． M 为抛物线上除了原点外的
任一点，过 M 的直线 l 与 x 轴， y 轴分别交于 A , B ． （Ⅰ）求抛物线 C 的方程以及焦点坐标； （Ⅱ）若△BMF 与△ABF 的面积相等，求证：直线 l 是抛物线 C 的切线．
y1 y1
y2
y2
t2
4t t2 2 2
2
因为 B '(x2 , y2 )
所以 |AB ' | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
因为
( x1

x2 )2

(ty1

ty2 )2

t 2 ( y1

y2 )2

t 2[( y1

y2 )2

4 y1 y2 ]
k AB

yA yB xA xB

1. 2
又故kop

1 2
,
kAB kOP .
所以直线 AB 与直线 OP 平行.
.............................13 分
【朝阳】19.（本小题满分 14 分）
过椭圆
W:
x2 2

y2
1的左焦点
F1 作直线 l1 交椭圆于
A, B
两点，其中
A
(0,1)
，另一
条过 F1 的直线 l2 交椭圆于 C, D 两点（不与 A, B 重合），且 D 点不与点 0，1重合. 过
F1 作 x 轴的垂线分别交直线 AD ， BC 于 E , G .
（Ⅰ）求 B 点坐标和直线 l1 的方程；
（Ⅱ）求证： EF1 F1G .
19. （本小题满分 14 分）
法二：设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 当直线 l 是 x 轴时， |AB ' | 2 2
当直线 l 不是 x 轴时，设直线 l 的方程为 x t y 2
所以

x2 2

y2

1 ，所以
(t
2

2) y2-
4t
x t y 2
y 2 0，
所以

(1 k) x2 1(3x1 4) x2 x1 1
x2 (3x1 4)
(1 k)2x1x2 3(x1 x2 ) 4
x2 (3x1 4)
把
x1 +x2

4k 2 2k 2 1
，
x1x2

2k 2 2k 2
2 1
代入到
2 x1 x2
y x 1
解：（Ⅰ）由题意可得直线 l1 的方程为
y
x1 Nhomakorabea.与椭圆方程联立,由

x2
2

y2
1
可求 B( 4 , 1) . 33
……………4 分
（Ⅱ）当 l2 与 x 轴垂直时， C, D 两点与 E , G 两点重合，由椭圆的对称性， EF1 F1G .
当 l2 不与 x 轴垂直时，
8

k
2



64k 4k
2 2

12 3


5


32k 2 4k 2
3
x1 1x2 1


8

0.
所以直线 MF 的倾斜角与直线 NF 的倾斜角互补，即 OFA OFB .
因为 OF AB ，所以| FA || FB | .
的方程为
y

1 3

y1 x1
1
3 4
3
(x
4 ) ,令
3
x

1 ，得点
G
的纵坐标
yG

y1 x1 3(x1
1 4) .把 3