2018年河南省高考数学一模试卷(理科)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3>0},B=N,则集合(∁R A)∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.52.(5分)若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为()A.﹣6B.13C.D.3.(5分)已知f(x)=sinx﹣tanx,命题p:∃x0∈(0,),f(x0)<0,则()A.p是假命题,¬p:∀x∈(0,),f(x)≥0B.p是假命题,¬p:∃x0∈(0,),f(x0)≥0C.p是真命题,¬p:∀x∈(0,),f(x)≥0D.p是真命题,¬p:∃x0∈(0,),f(x0)≥04.(5分)已知程序框图如图,则输出i的值为()A.7B.9C.11D.135.(5分)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班,(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.48种D.36种6.(5分)《九章算术》是我国古代数学名著,在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,若某阳马”的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该“阳马”的表面积为()A.1+B.1+2C.2+D.2+27.(5分)设不等式组表示的平面区域为D,若圆C:(x+1)2+y2=r2(r >0)不经过区域D上的点,则r的取值范围为()A.(0,)∪(,+∞)B.(,+∞)C.(0,)D.[,]8.(5分)若等边三角形ABC的边长为3,平面内一点M满足6﹣3=2,则•的值为()A.﹣B.﹣2C.2D.9.(5分)关于函数f(x)=3sin(2x﹣)+1(x∈R),下列命题正确的是()A.由f(x1)=f(x2)=1可得x1﹣x2是π的整数倍B.y=f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x+)+1C.y=f(x)的图象关于点(,1)对称D.y=f(x)的图象关于直线x=﹣对称10.(5分)设函数f(x)=mx2﹣mx﹣1,若对于x∈[1,3],f(x)<﹣m+4恒成立,则实数m的取值范围为()A.(﹣∞,0]B.C.D.11.(5分)设双曲线的方程为﹣=1(a>0,b>0),若双曲线的渐近线被圆M:x2+y2﹣10x=0所截得的两条弦长之和为12,已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于()A.B.C.D.12.(5分)已知定义在R上的函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=,e2x﹣2+x2﹣2f(0)•x,g′(x)+2g(x)<0,则下列不等式恒成立的是()A.g(2016)<f(2)•g(2018)B.f(2)•g(2016)<g(2018)C.g(2016)>f(2)•g(2018)D.f(2)•g(2016)>g(2018)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)设a=(cosx﹣sinx)dx,则二项式(a﹣)6的展开式中含x2项的系数为.14.(5分)若函数f(x)=(a,b∈R)为奇函数,则f(a+b)的值为.15.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切,则AA1的长度为.16.(5分)如图,OA,OB为扇形湖面OAB的湖岸,现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区﹣区域I和区域Ⅱ,点C在上,∠COA=θ,CD∥OA,其中,半径OC及线段CD需要用渔网制成.若∠AOB=,OA=1,则所需渔网的最大长度为.三、解答题(共70分)17.(12分)已知S n为数列{a n}的前n项和,且a1<2,a n>0,6S n=+3a n+2,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若对∀n∈N*,b n=(﹣1)n,求数列{b n}的前2n项的和T2n.18.(12分)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,DC=DA=2AB=2,点E为AD的中点,BD∩CE=H,PH⊥平面ABCD,且PH=4.(1)求证:PC⊥BD;(2)线段PC上是否存在一点F,使二面角B﹣DF﹣C的余弦值是?若存在,请找出点F的位置;若不存在,请说明理由.19.(12分)某地区为了解学生学业水平考试的状况,从参加学业水平考试的学生中抽出160名,其数学组成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数;(2)假设在(90,100]段的学生中有3人得满分100分,有2人得99分,其余学生的数学成绩都不相同.现从90分以上的学生中任取4人,不同分数的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).20.(12分)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点F是抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点,点(2,4)在抛物线C2上.(1)求椭圆C1的方程;(2)已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A,B两点,M(0,2),直线AM与BM 的斜率乘积为﹣,若在椭圆上存在点N,使|AN|=|BN|,求△ABN的面积的最小值.21.(12分)已知函数f(x)=ae x+x2﹣bx(a,b∈R),其导函数为y=f′(x).(1)当b=2时,若函数y=f′(x)在R上有且只有一个零点,求实数a的取值范围;(2)设a≠0,点P(m,n)(m,n∈R)是曲线y=f(x)上的一个定点,是否存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)﹣n=f′()(x0﹣m)成立?并证明你的结论.[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]22.(10分)在直角坐标系xOy中,已知直线l1:(t为参数),l2:(t为参数),其中α∈(0,),以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0.(1)写出l1,l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设l1,l2分别与曲线C交于点A,B(非坐标原点),求|AB|的值.[选修4-5:不等式选讲]23.设函数f(x)=|x﹣a|(a>0).(1)当a=2时,解不等式f(x)≥1﹣2x;(2)已知f(x)+|x﹣1|的最小值为3,且m2n=a(m>0,n>0),求m+n的最小值.2018年河南省高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.【分析】可先求出集合A={x|x<﹣1,或x>3},然后进行交集、补集的运算即可.【解答】解:A={x|x<﹣1,或x>3};∴∁R A={x|﹣1≤x≤3};∴(∁R A)∩B={0,1,2,3}.故选:C.【点评】考查一元二次不等式的解法,以及描述法、列举法表示集合的概念,交集和补集的运算.2.【分析】利用复数的除法运算化简为a+bi(a,b∈R)的形式,由实部等于0且虚部不等于求解a的值.【解答】解:由复数==是纯虚数,则,解得a=﹣6.故选:A.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础的计算题.3.【分析】利用特称值,判断特称命题的真假,利用命题的否定关系,特称命题的否定是全称命题写出结果.【解答】解:f(x)=sinx﹣tanx,x∈(0,),当x=时,∴f(x)=,命题p:∃x0∈(0,),f(x0)<0,是真命题,命题p:∃x0∈(0,),f(x0)<0,则¬p:∀x∈(0,),f(x)≥0.故选:C.【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.4.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值,模拟程序的运行过程,可得答案.【解答】解:当S=1时,不满足退出循环的条件,故S=1,i=3;当S=1时,不满足退出循环的条件,故S=3,i=5;当S=3时,不满足退出循环的条件,故S=15,i=7;当S=15时,不满足退出循环的条件,故S=105,i=9;当S=105时,不满足退出循环的条件,故S=945,i=11;当S=945时,不满足退出循环的条件,故S=10395,i=13;当S=10395时,满足退出循环的条件,故输出的i=13,故选:D.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.5.【分析】分类讨论,第一类,一班的2名同学在甲车上;第二类,一班的2名同学不在甲车上,再利用组合知识,问题得以解决.【解答】解:由题意,第一类,一班的2名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级,从三个班级中选两个为C32=3,然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4,故有3×4=12种.第二类,一班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上,为C31=3,然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4,这时共有3×4=12种,根据分类计数原理得,共有12+12=24种不同的乘车方式,故选:B.【点评】本题考查计数原理的应用,考查组合知识,考查学生的计算能力,属于中档题.6.【分析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥,画出图形结合图形求出它的表面积.【解答】解:由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥,如图所示;正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,∴四棱锥的底面是正方形,且边长为1,其中一条侧棱PD⊥底面ABCD,且侧棱AD=1,∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形,且PA=PC=,∴四棱锥的表面积为S=S底面ABCD+2S△SAD+2S△SAB=1+2××1×1+2××1×=2+.故选:C.【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题,是基础题.7.【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,而圆C表示以(﹣1,﹣1)为圆心且半径为r的圆.观察图形,可得半径r<CM 或r>CP时,圆C不经过区域D上的点,由此结合平面内两点之间的距离公式,即可得到r的取值范围.【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中M(1,1),N(2,2),P(1,3)∵圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)表示以C(﹣1,0)为圆心,半径为r的圆,∴由图可得,当半径满足r<CM或r>CP时,圆C不经过区域D上的点,∵CM==,CP==.∴当0<r<或r>时,圆C不经过区域D上的点,故选:A.【点评】本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域,求半径r的取值范围.着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识,属于中档题.8.【分析】根据条件可先求出,而由即可得出,这样即可用分别表示出,然后进行数量积的运算即可.【解答】解:等边三角形ABC的边长为3;∴;;∴;∴==,=;∴===﹣2.故选:B.【点评】考查向量数量积的运算及计算公式,以及向量的数乘运算,向量加法的几何意义.9.【分析】根据函数f(x)=3sin(2x﹣)+1(x∈R),结合三角函数的性质即可判断各选项.【解答】解:函数f(x)=3sin(2x﹣)+1(x∈R),周期T=,对于A:由f(x1)=f(x2)=1,可能x1与x2关于其中一条对称轴是对称的,此时x1﹣x2不是π的整数倍;∴A 不对.对于B:由诱导公式,3sin(2x﹣)+1=3cos[﹣(2x﹣)]+1=3cos(2x ﹣)+1.∴B不对.对于C:令x=,可得f()=3sin(2×﹣)+1=﹣1=,∴C不对,对于D:当x=﹣时,可得f()=3sin(﹣﹣)+1=﹣1×3+1=﹣2,f(x)的图象关于直线x=﹣对称.故选:D.【点评】本题主要考查利用y=Asin(ωx+φ)的信息特征,判断各选项的正误,属于中档题.10.【分析】利用分离参数法,再求出对应函数在x∈[1,3]上的最大值,即可求m 的取值范围.【解答】解:由题意,f(x)<﹣m+4,可得m(x2﹣x+1)<5.∵当x∈[1,3]时,x2﹣x+1∈[1,7],∴不等式f(x)<0等价于m<.∵当x=3时,的最小值为,∴若要不等式m<恒成立,则必须m<,因此,实数m的取值范围为(﹣∞,),故选:D.【点评】本题考查恒成立问题,考查分离参数法的运用,解题的关键是分离参数,正确求最值,属于中档题.11.【分析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4,再根据点到直线的距离公式可得=4,得到5b=4c,即可求出a=c,根据正弦定理可得===【解答】解:双曲线的一条渐近线方程为y=x,双曲线的渐近线被圆M:x2+y2﹣10x=0,即(x﹣5)2+y2=25所截得的两条弦长之和为12,设圆心到直线的距离为d,则d==4,∴=4,即5b=4c,即b=c∵a2=c2﹣b2=c2,∴a=c,∴|AP﹣BP|=2a,由正弦定理可得===2R,∴sinB=,sinA=,sinP=,∴===,故选:C.【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理,属于中档题12.【分析】f(x)=e2x﹣2+x2﹣2f(0)•x,令x=0,则f(0)=.由f′(x)=f′(1)•e2x﹣2+2x﹣2f(0),令x=1,可得f(0).进而得出f′(1),f(x),f(2).令h(x)=e2x g(x),及其已知g′(x)+2g(x)<0,可得h′(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0,利用函数h(x)在R上单调递减,即可得出.【解答】解:f(x)=e2x﹣2+x2﹣2f(0)•x,令x=0,则f(0)=.∵f′(x)=f′(1)•e2x﹣2+2x﹣2f(0),令x=1,则f′(1)=f′(1)+2﹣2f(0),解得f(0)=1.∴f′(1)=2e2.∴f(x)=e2x+x2﹣2x,∴f(2)=e4.令h(x)=e2x g(x),∵g′(x)+2g(x)<0,∴h′(x)=e2x g′(x)+2e2x g(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0,∴函数h(x)在R上单调递减,∴h(2016)>h(2018),∴e2016×2g(2016)>e2018×2g(2018),可得:g(2016)>e4g(2018).∴g(2016)>f(2)g(2018).故选:C.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值,然后再根据二项式的通项公式求出r的值,问题得以解决.【解答】解:由于a=(cosx﹣sinx)dx=(sinx+cosx)|=﹣1﹣1=﹣2,∴(﹣2﹣)6=(2+)6的通项公式为T r+1=26﹣r C6r•x3﹣r,令3﹣r=2,求得r=1,故含x2项的系数为26﹣1C61=192.故答案为:192【点评】本题主要考查定积分、二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题.14.【分析】由已知中函数f(x)为奇函数,f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,可得a,b 的值,进而可得f(a+b)的值.【解答】解:∵函数f(x)==为奇函数,故f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,故.即,∴f(x)=,∴f(a+b)=f(1)=1﹣2=﹣1,故答案为:﹣1.【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的奇偶性,函数求值,难度中档.15.【分析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长,即可求出AA1的长度.【解答】解:由题意,△ABC的外接圆即为球的大圆,r=2,设底面△ABC外接圆圆心G,即GA=GB=GC=2,从而正三角形ABC边长2,设球心O,由题意,E、D在球面上,OE=OD=2,F为DE中点,则OF⊥DE,OF=GD=GC=1,在Rt△OEF中,OE=2,OF=1,∴EF=,∴DE=2,∴AA1=2.故答案为:2.【点评】本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系,通过二者的关系求出正三棱柱的体积,考查计算能力,逻辑推理能力.16.【分析】确定∠COD,在△OCD中利用正弦定理求得CD的长度,根据所需渔网长度,即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和,确定函数的解析式,利用导数确定函数的最值,求得所需渔网长度的最大值.【解答】解:由CD∥OA,∠AOB=,∠AOC=θ,得∠OCD=θ,∠ODC=,∠COD=﹣θ;在△OCD中,由正弦定理,得CD=sin(﹣θ),θ∈(0,),设渔网的长度为f(θ),可得f(θ)=θ+1+sin(﹣θ),所以f′(θ)=1﹣cos(﹣θ),因为θ∈(0,),所以﹣θ∈(0,),令f′(θ)=0,得cos(﹣θ)=,所以﹣θ=,所以θ=.θ(0,)(,)f′(θ)+0﹣f(θ)极大值所以f(θ)∈(2,].故所需渔网长度的最大值为.【点评】本题考查了正弦定理的应用问题,也考查了函数模型的构建与最值应用问题,是难题.三、解答题(共70分)17.【分析】(1)6S n=+3a n+2,n∈N*.n≥2时,6a n=6S n﹣6S n﹣1,化为(a n+a n﹣1)(a n﹣a n﹣1﹣3)=0,由a n>0,可得a n﹣a n﹣1=3,n=1时,6a1=+3a1+2,且a1<2,解得a1.利用等差数列的通项公式可得a n.(2)b n=(﹣1)n=(﹣1)n(3n﹣2)2.b2n﹣1+b2n=﹣(6n﹣5)2+(6n﹣2)2=3(12n﹣7)=36n﹣21.利用分组求和即可得出.【解答】解:(1)6S n=+3a n+2,n∈N*.n≥2时,6a n=6S n﹣6S n﹣1=+3a n+2﹣(+2),化为:(a n+a n﹣1)(a n﹣a n﹣1﹣3)=0,∵a n>0,∴a n﹣a n﹣1=3,n=1时,6a1=+3a1+2,且a1<2,解得a1=1.∴数列{a n}是等差数列,首项为1,公差为3.∴a n=1+3(n﹣1)=3n﹣2.(2)b n=(﹣1)n=(﹣1)n(3n﹣2)2.∴b2n+b2n=﹣(6n﹣5)2+(6n﹣2)2=3(12n﹣7)=36n﹣21.﹣1∴数列{b n}的前2n项的和T2n=36(1+2+……+n)﹣21n=﹣21n=18n2﹣3n.【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18.【分析】(1)推导出△BAD≌△EDC,∠DBA=∠DEH,从而BD⊥EC,由PH⊥平面ABCD,得BD⊥PH,由此能证明BD⊥平面PEC,从而PC⊥BD.(2)推导出PH、EC、BD两两垂直,建立以H为坐标原点,HB、HC、HP所在直线分别为x,y,z轴的坐标系,利用向量法能求出线段PC上存在一点F,当点F满足CF=3时,二面角B﹣DF﹣C的余弦值是.【解答】证明:(1)∵AB∥CD,∠BAD=90°,∴∠EDC=∠BAD=90°,∵DC=DA=2AB,E为AD的中点,∴AB=ED,∴△BAD≌△EDC,∴∠DBA=∠DEH,∵∠DBA+∠ADB=90°,∴∠DEH+∠ADB=90°,∴BD⊥EC,又∵PH⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PH,又∵PH∩EC=H,且PH,EC⊂平面PEC,∴BD⊥平面PEC,又∵PC⊂平面PEC,∴PC⊥BD.解:(2)由(1)可知△DHE∽△DAB,由题意得BD=EC=5,AB=DE=,∴,∴EH=1,HC=4,DH=2,HB=3,∵PH、EC、BD两两垂直,建立以H为坐标原点,HB、HC、HP所在直线分别为x,y,z轴的坐标系,H(0,0,0),B(3,0,0),C(0,4,0),D(﹣2,0,0),P(0,0,4),假设线段PC上存在一点F满足题意,∵与共线,∴存在唯一实数λ,(0≤λ≤1),满足=λ,解得F(0,4﹣4λ,4λ),设向量=(x,y,z)为平面CPD的一个法向量,且=(0,﹣4,4),=(﹣2,﹣4,0),∴,取x=2,得=(2,﹣1,﹣1),同理得平面CPD的一个法向量=(0,λ,λ﹣1),∵二面角B﹣DF﹣C的余弦值是,∴|cos<>|===,由0≤λ≤1,解得λ=,∴=,∵CP=4,∴线段PC上存在一点F,当点F满足CF=3时,二面角B﹣DF﹣C的余弦值是.【点评】本题考查线线垂直垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.19.【分析】(1)把组中值看作各小组的平均数,根据加权平均数公式计算;(2)根据组合数公式计算各种情况的概率,得出分布列.【解答】解:(1)=45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72(分),众数为75分.(2)90分以上的人数为160×0.005×10=8人.∴ξ的可能取值为2,3,4,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==.∴ξ的分布列为:ξ234P∴ξ的数学期望是E(ξ)=2×+3×+4×=.【点评】本题考查了频率分布直方图,离散型随机变量的分布列和数学期望,属于中档题.20.【分析】(1)先求出p的值,即可求出c的值,根据离心率求出a的值,即可得到椭圆方程,(2)设直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),由,根据直线AM与BM的斜率乘积为﹣,求出m=0,再根据弦长公式求出|AB|和|ON|,表示出三角形的面积来,再利用二次函数的性质即可求出最小值.【解答】解:(1)∵点(2,4)在抛物线y2=2px上,∴16=4p,解得p=4,∴椭圆的右焦点为F(2,0),∴c=2,∵椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,∴=,∴a=2,∴b2=a2﹣c2=8﹣4=4,∴椭圆C1的方程为+=1,(2)设直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),由,消y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,∴x1+x2=,x1x2=,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=∵M(0,2),直线AM与BM的斜率乘积为﹣,∴k1•k2=•===﹣,解得m=0,∴直线l的方程为y=kx,线段AB的中点为坐标原点,由弦长公式可得|AB|==,∵|AN|=|BN|,∴ON垂直平分线段AB,当k≠0时,设直线ON的方程为y=﹣x,同理可得|ON|==,∴S=|ON|•|AB|=8,△ABN当k=0时,△ABN的面积也适合上式,令t=k2+1,t≥1,0<≤1,则S=8=8=8,△ABN的最小值为.∴当=时,即k=±1时,S△ABN【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查椭圆与二次函数函数的应用,考查计算能力,属于难题.21.【分析】(1)当b=2时,f(x)=ae x+x2﹣2x,(a∈R),f′(x)=ae x+2x﹣2,(a∈R),由题意a=,令h(x)=,则=0,解得x=2,由此能求出当a=﹣或a∈[0,+∞)时,f′(x)在R上有且只有一个零点.(2)由f(x)=ae x+x2﹣bx,得f′(x)=ae x+2x﹣b,假设存在x0,则,利用导数性质推导出不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)﹣n=f′()(x0﹣m)成立.【解答】解:(1)当b=2时,f(x)=ae x+x2﹣2x,(a∈R),f′(x)=ae x+2x﹣2,(a∈R),由题意得ae x+2x﹣2=0,即a=,令h(x)=,则=0,解得x=2,当x<2时,h′(x)<0,h(x)单调递减,当x>2时,h′(x)>0,h(x)单调递增,∴h(x)min=h(2)=﹣,∵当x=﹣1时,h(﹣1)=4e>0,当x>2时,h(x)=<0,由题意得当a=﹣或a∈[0,+∞)时,f′(x)在R上有且只有一个零点.(2)由f(x)=ae x+x2﹣bx,得f′(x)=ae x+2x﹣b,假设存在x0,则有f(x0)==,即,∵f′()=+2﹣b,==+(x0+m)﹣b,∴+2•﹣b=+(x0+m)﹣b,即=,∵a≠0,∴,令t=x0﹣m>0,则,两边同时除以e m,得,即,令g(t)=,∴,令h(t)=﹣﹣1在(0,+∞)上单调递增,且h(0)=0,∴h(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立,即g′(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立,∴g(e)在(0,+∞)上单调递增,g(0)=0,∴g(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立,∴=不成立,同理,t=x0﹣m<0时,∴不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)﹣n=f′()(x0﹣m)成立.【点评】本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力、推理论证能力,考查创新意识,是中档题.[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]22.【分析】(1)考查直线l1,l2参数方程与极坐标方程的互化,曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化.重点都是消去参数t.(2)利用l1,l2极坐标方程,结合余弦定理,计算出|AB|的长度.【解答】解:(1)l1,l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R),θ2=α+(ρ∈R).曲线C的极坐标方程方程为ρ﹣4cosθ=0.即得ρ2﹣4ρcosθ=0,利用ρ2x2+y2,x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x﹣2)2+y2=4.(2)因为ρ1=4cosα,ρ2=4cos(α+),所以|AB|2=+﹣2ρ1.ρ2cos=16[cos2α+cos2()﹣cosαcos ()]=16[cos2α+(cosα﹣sinα)2﹣cosα(cosα﹣sinα)]=8,所以|AB|的值为2.【点评】考查极坐标方程与参数方程,普通方程的互化.记准互化公式和原则是关键,属于中档题目.[选修4-5:不等式选讲]23.【分析】(1)通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;(2)根据绝对值不等式的性质求出a的值,结合基本不等式的性质求出m+n的最小值即可.【解答】解:(1)当x≥2时,x﹣2≥1﹣2x,得x≥1,故x≥2,当x<2时,2﹣x≥1﹣2x,得x≥﹣1,故﹣1≤x<2,综上,不等式的解集是{x|x≥﹣1};(2)∵f(x)+|x﹣1|的最小值是3,∴f(x)+|x﹣1|≥|x﹣a﹣(x﹣1)|=|a﹣1|=3,故a=4,∵m+n=++n≥3=3,当且仅当=n即m=2,n=1时取“=”.【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值的性质以及基本不等式的性质,是一道中档题.。