毕业论文开题报告信息与计算科学无界函数广义积分的数值计算一、选题的背景、意义微积分从20世纪初开始进入中学，他作为人类文化的宝贵财富，正在武装一代又一代的新人，终将成为世人皆知的常识[1].通常谈到积分，最先想到的往往是定积分.研究函数的定积分，常常有两个比较重要的约束条件，即积分区间的有界性和被积函数的有界性[2].但在很多实际问题中往往需要突破这两个条件，考虑无穷区间上的积分或是无界函数的积分，通常也称他们为广义积分.通过以往对定积分学习，发现它可以使很多复杂的问题简单化，但是实际生活广义积分的应用更加具有实际意义.因此关于它的计算自然而然地成了很重要的研究课题，这也是本论文的研究中心.广义积分的敛散性的判定是分析学的重要内容，有不少人对其研究，已得出了许多判定方法.有学者认为，由于积分与级数在理论上是统一的，因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和[3].也有学者认为，将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用无穷小和无穷大比较的方法进行比较，得到了相应的反常积分敛散性极限审敛法的等价定理[4]，从而可运用等价定理灵活的判断反常积分的敛散性.总之，广义积分目前已有多种判别收敛性的方法，但每个判别法都有其应用的局限性[5]，随着广义积分理论的逐渐发展，相信这些局限性会日趋减弱。

广义积分的敛散性的判别方法固然是很重要的问题，对于广义积分的计算的研究具有很重要的现实意义.在解析方法中，收敛的广义积分是通过用非奇异点（或有限点）代替奇异点（无穷点）并对其取极限的方法处理的[6].通常的积分计算直接利用公式()()()baf x dx F b F a =-⎰进行，但是，在实际问题中，这样往往是有困难的，有些被积函数()f x 的原函数不能用初等函数表示成有限的形式；有些被积函数表达式很复杂；有些没有具体的解析表达式.而且，广义积分是指把积分扩展为函数在积分区间上无界或积分区间具有一个或多个无穷端点的情况，无论哪种情况，正常的积分逼近规则必须进行修改[7].因此引进数值计算的方法进行计算.近些年，国内外学者总结出许多处理广义积分的方法，用于计算时，针对具体情况选择具体方法.由于无穷限的反常积分可以通过变量替换化为无界函数的反常积分，也可以直接仿无界函数的反常枳分作类似地处理.本论文以无界函数广义积分为研究重点.用于无界函数广义积分计算的方法有很多，本论文主要讨论：变量替换法、极限过程法、区间截取法、分部积分法、削减奇异性方法、乘积积分法.用到的数值积分计算公式有：梯形公式、抛物线公式、复合公式梯形公式、复合抛物线公式、Romberg 求积公式、Guass 型求积公式。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1广义积分的数值计算 2.1.1变量替换法[8]对于形如1()p qx g x dx -⎰（其中p ，q 互为质数，且q p >，()g x 通常为多项式），令qx t =，则1110()()p q p q qx g x dx q g t t dt --+-=⎰⎰.2.1.2极限过程法设()f x 在0x =的邻域内无界，反常积分可以定义为110()lim (),rr f x dx f x dx →=⎰⎰由此可得到一个计算方案，令121r r >>>是收敛于0的数列，例如2nn r -=，记1212311()()()()r r r r r f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰右边的每个积分都是正常积分，一般地，当1|()|nn r r f x dx ε+<⎰时，计算停止.2.1.3区间截取法区间截取通常称奇异性的解析处理，就是把积分区间分成两部分，使一部分有奇点而另不部分没有奇点.如果()baI f x dx =⎰中被积函数f 在x a =处有奇异点，则适当地选取小数0δ>，可使在小区间[,]a a δ+上的积分值处在允许的误差范围之内，即|()|a af x dx δε+<⎰而对于积分()ba f x dx δ+⎰，则可以按标准的数值积分进行. 2.1.4分部积分法[9]有时运用分部积分法，也可使某些反常积分化为正常积分，公式如下:''lim ()()lim[()()]|()()bbb a aab b u x v x dx u x v x u x v x dx →∞→∞=-⎰⎰. 2.1.5削减奇异性方法削减奇异性方法也称分项法，就是把()()baI f f x dx =⎰分解为奇异和非奇异两部分，奇异部分可用解析方法求解，非奇异部分可应用标准数值方法求解.即找一个函数()x ϕ，使它包含()f x 的奇点，即使()()()f x x x ϕφ-=在[,]a b 上不再具有奇点，从而()bax dx φ⎰属正常积分.削减奇异性方法有种特殊方法叫康托洛维奇方法，介绍如下： 设积分()()baI f f x dx =⎰的被积函数f 存在一个奇异点，康托洛维奇不是直接对()I f 进行求积，而是选取一个函数g ，使其与f 有相同的奇异点，并在给定的积分区间[,]a b 上可解析求积，而且f g -有一定阶的导数，把积分写成()()[()()]bb baaaf x dxg x dx f x g x dx =+-⎰⎰⎰，右边第一个积分可直接求积，第二个积分可用标准的数值求积公式计算.函数g 的选取有很多方法，例如被积函数f 用公式()()(),,[,]f x x c x a c b x a b αϕ=-≤≤∈来表示，其中10α-<<，ϕ在[,]a b 上足够光滑，ϕ在x c =处展成泰勒级数，则可以得到()12()2'()''()()()[()()()()()]1!2!!'()''()()()[()()()()()]1!2!!k k k k c c c f x c x c x c x c x c k c c c x c x c x c x c x c k αααααϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++=-+-+-++-+---------上式右边第一个方括号中是一个幂函数，可以逐项求其积分；而第二个方括号内已无奇点，且相当光滑，可以用标准的数值求积公式计算出来. 2.1.6乘积积分法[10]对于形如()baf x dx ⎰的反常积分，被积函数能被分解成()()()f x w x g x =的形式，其中()0p x >它包含()w x 是一个奇异的权函数，而()g x 在[,]a b 上光滑.2.2常用数值积分公式[11]2.2.1 Newton-Cotes 公式取等距节点(0,1,,,()/)k x a kh k n h b a n =+==-为求积节点，记x a th =+，则有求积系数公式()011011()()()()()()()()()bbn k k n k k aak k k k k k n x x x x x x x x w l x dx dx x x x x x x x x -+-+----==----⎰⎰，0,1,,k n =.称()0[]nn n k kk Q f wf ==∑为Newton-Cotes 公式.在上述求积系数公式中，当1n =时得梯形求积公式：1()[](()())2b a Q f f a f b -=+. 当2n =时得Simpson 公式：2()[](()4()())62b a a bQ f f a f f b -+=++. 2.2.2 复合公式和Romberg 求积公式记()/,,0,1,,k h b a m x a kh k m =-=+=.在每个小区间上使用梯形求积公式，便得到复合梯形求积公式1()101[](2)2m m m k k hQ f f f f -==++∑.将[,]a b 区间2m 等分，记()/(2),,0,1,,2k h b a m x a kh k m =-=+=，在每个小区间上使用抛物线求积公式，则得到复合抛物线求积公式11(2)20212211[](42)3m m m i i m i i hQf f f f f --+===+++∑∑.使用复合求积公式时，我们通常是将步长h 逐次分半，利用低次复合求积公式的结果来计算高一次复合求积公式的值，于是有Romberg 求积公式：1()101[](2)2m m m k k hQ f f f f -==++∑2(2)()(2)11222[][][]21m m m Q f Q f Qf -=-4(4)(2)(4)22442[][][]21m m m Q f Q f Qf -=-6(8)(4)(8)44862[][][]21m m m Q f Q f Qf -=-。