复变函数疑难问题分析1)函数f(z)在区域D 中是否有无限个零点？ 2)是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？ 答：有无限个零点。
可以具体写出其所以零点；不矛盾。
因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。
因为 z 0为非孤立的奇点。
2.“函数sinz 在z 平面上是有界的”是否正确？ sin z 在 z 平面上无界。
3. “函数e z 为周期函数” 是否正确？e z 是以2k i 为周期的函数。
因为 z C ，e z2ki e z e 2k i e z 1 e z ，k 为整数4. “ f(z) z 是解析函数” 是否正确？f (z) z 在z 平面上不解析。
因为f (z) z x iy ，所以u(x, y) x , v(x, y) y 所以丄1，丄 1，丄0,丄0x y y x但是-11 —，所以u(x, y)，v(x, y)在z 平面上处处不满足C. R.条件xy所以f (z) z 在z 平面上不解析。
5. 根据教材中建立起球面上的点(不包括北极点N)复平面上的点间的一一对应， 试求解下列问题。
(1)复球面上与点(一^,2,1)对应的复数；2 21.设 f (z)z 2 sin 丄,D zz|z 1 1若上小题的答案是肯定的,iziz这是因为sinz e —，令z iy(y2i0)，则 | sin z| | iz ize e2i(y(2)复数1+i与复球面上的那个点;(3)简要说明如何定义扩充复平面。
解：(1)建立空间直角坐标系(以0点为原点，SON为z轴正半轴)，则过点P(—2, —2,1)与点N(o,o,2)的直线方程为:-、2—-。
当z 0时，2 22 1x y 2，所以(上1,丄1,1)与复数J 、、2i对应。
2 2(2)复数1 i的空间坐标为(1,1,0)。
则直线方程-丄 * 与球面1 1 2x2 y2 (z 1)2 1 相交，其交点为(三2,2)，N(0,0,2)3 3 3(3)z平面上以个模为无穷大的假想点一北极N相对应，复平面上加上后称为扩充复平面。
6. 说明复变函数可微性与解析性的关系。
复变函数w f(z)在点Z。
处可导，又称为可微，而f(Z)在Z。
处的某个邻域内任一点处均可导(可微)，则称f(z)在Z。
处是解析的。
所以(1) w f(z)在点Z。
处可导(可微)，但不一定在z处是解析的，(2)f(z)在Z0处解析是指在Z0处的某个邻域内任一点处均可导，(3)f(z)在区域D内可微与在区域D内解析是等价的。
17. f z sin-在区域D : 0 z 1上解析且有无穷多个零点，但在区域D上zf z不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？1 1f (z) sin —在区域D，0 z 1内有无穷多个零点厶一，但lim z k0，z k k但0 D，而区域D是去心邻域，f(z)在z 0点无意义，所以f(z)在z 0处是不解析的，也即f(z) sin丄在D内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0,与z零点孤立性定理不矛盾。
8. 复级数a n与b n都发散,则级数(a n b n)和a n b n发散.这个命题是否n 1 n 1 n 1 n 19. 下列说法是否正确？为什么？(1)每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛 (2)每一个幕级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点答:(1) 不正确，因为幕级数在它的收敛圆周上可能收敛，也可能发散.⑵不正确，因为收敛的幕级数的和函数在收敛圆周内是解析的 10. 为什么区域|z| R 内解析且在区间(R, R)取实数值的函数f(z)展开成z 的幕级数时，展开式的系数都是实数?因为当z 取实数值时，f(z)与f (x)的泰勒级数展开式是完全一致的,展开成z 的幕级数时，它的系数都是实数。
z2 311.由 门z z z°,所以有结果…请解释错误的原因z...要求z...要求z成立？为什么? 答.不一定•反例：a nn 1i2 , b n n n 1但 (a n n 1b n )飞收敛;n(a n b n )n 1-发散; n 1 na nb n[n 1n 1(丄 n1)]收敛.n而在|x| R 内，f(x)的展开式的系数都是实数所以，在区域| z| R 内，f(z)z2z3所以,在不同区域内而 sin z >1 e yx 1 |e yxi 1 e y e y2 2当y时，e y，e y有 | sin(x iy)|当y 时，e y ，e y 0 有 | si n(x iy)| y xi e e y y xi ey xi y xi e e sin z —2 e y 12. z 0是函数f(z)cos(1/ z)的孤立奇点吗？为什么?解:1因为f(z)cosq 的奇点有z 0k n n 1 -z ---------------- (k 0, 1, 2,...) k n n 2 所以在z 0的任意去心邻域，总包括奇点1； ，当 k时，z=0。
k n 21从而z 0不是cos ■仃的孤立奇点.113.函数f(z) k 在z 1处有一个二级极点,但根据下面罗朗展开式:1 L 1 1 1z(z 1)2(z 1)5 (z 1)4 (z 1)3'我们得到“ z 1又是f(z)的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么 ？ 解：不对,z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点•所给罗朗展开式不是在z 11内得到的z 11内的罗朗展开式为1 1z(z 1)2 z1 12 2 (z 1)2 (z 1)21 21 (z 1) (z 1)14.如何证明当y时, |sin(x iy) | 和 | cos(xiy)|都趋于无穷大?证明：sin z — e iz2iize1 2iy xiey xie同理得cos x iyy xie所以当y 时有|cos(x iy) | 15.设函数f(z)在0 |z| 1内解析，且沿任何圆周C: |z| r , 0 r 1的积分 为零，问f(z)是否需在z 0处解析？试举例说明之。
1 解：不一定。
如令f(z) p ，则其在0 |z| 1内解析，且沿任何圆周C:|z| r ， z0 r 1的积分 C f (z)dz c |z| r1 —2 dz z1 但显然f (z)2在z 0处不解析 z 16.设f(z)在 单连通区域D 内解析，且不为零，C 为D 内任何一条简单光滑闭曲 线，问积分-C^dz 是否为零？为什么? 解：等于零。
因f(z)在D 内解析，故f(z)具有各阶导数且仍为解析函数，从而 f ⑺在D 内也解析，又因在D 内f ⑺0,故ft 在D 内解析，从而在C上及 C 的内部也解析，于是由 Cauchy-Gourssat 定理，有Q - C f(z)dz f(z) 03 3 ・ x y i 3 3x y ,z 0 ,z 0 17.设 f(z)2 x 0 2 y 否可微？3 3 x y x, y 0,0 解：u x, y2 2x y0 x,y 0,0f (z)在原点是否满足C R 条件，是u x (0,0) lim U (x,°)呃°)X 0 x33x y x, y0,0 v x,y2 2x yx, y0,0lim x1，x 0x同理 U y (0,0) V x (0,0) V y (0,0)从而在原点f(z)满足C R条件又f f (z) ( u i v) (U x(O,O) i V x(O,O)z z=(1 i)( x)3( y (1 i) z(x)3( y)3z当z沿y x 0时f f (z) (1 i)z 2( x)3故f (z)在原点不可微18. 在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得，请举出一个例子. 例如：f (z) z在z平面上处处不可微.证明：不难看出f (z) z在z平面上处处连续，但对于任意一点z .f(Z o Z) f(Z o) Z o Z % % Z Z o Zz z z z 当z取实数趋于零时，上述极限为1,而当Z取纯虚数趋于零时，上述极限为1，因此上述极限不存在，即f (Z)在点z不可导，由Z的任意性知f (z)在点Z平面上处处不可微.19. “若u(x, y)和v(x, y)均为调和函数，则f (z) u(x, y) iv(x, y)为解析函数”是否正确？解：不正确。
例如：u(x,y) x2 y2，v(x, y) 2y2都是调和函数，x y但f (z) u(x, y) iv(x, y)不是解析函数。
事实上，U x 2X,U y 2y, U xx 2,U yy 2，2 22xyx yV x (x 2 y 2)2,V y(x 2y 2)26x 2y 2y 36x 2y 2y 3Vxx2 2\3,Vyy2 2\3(x y )(x y )U xx U yy0; V xx V yy 0 这表示u(x, y),v(x, y)是调和函数。
但u x v y ，即不满足C — R 条件，从而f(z) u(x, y) iv(x, y)不是解析函数。
20. 指出下列推导过程中的错误：设z 0，贝U (1) 因为(z)2 z 2 ； (2) 所以 Ln( z)2Lnz 2 ;(3) 于是有 Ln( z) Ln( z) Lnz Lnz ; (4)所以 2Ln( z) 2Lnz ;(5) 故得 Ln ( z) Lnz 。
解：推理步骤1) --3 )是正确的，但3)至4)是错误的。
Lnz Lnz 可视为由两个相同数集Lnz 各取一个元素相加所得的和的数集。
而2Lnz 只是数集Lnz 中每一数的两倍所成的数集。
2Lnz 仅是Lnz Lnz 的一 个真子集。
事实上，Lnz ln | z | i (arg z 2k )， Ln( z) In | z | i (arg z (2k 1) ),k0, 1,...所以Lnz Ln( z)21. 在复变函数中，e z 也可以象实分析中的e x 既可看成以e 为底的指数函数， 也可以看成数e 的x 次幕哪样理解吗？不能，在复变函数中，e z表示复变指数函数的一个符号，即e z e x(cosy i si ny)，—般用符号expz表示，习惯上还是用e z表示，但是，这里的e z没有幕的含意。
e z作为指数函数与e的z次幕有很大的差别。
作为指数函数e ze x(cosy i siny)是一单值解析函数。
作为e的z次幕，按照乘幕定义e z exp (zLne) exp[ z(lne 2k i)]=exp[z(1 2k i)] exp z exp(2k zi), k 0, 1, 2,...一般情况下，它是多值的。