人教A版高中数学必修5第二章
2.2.1 等差数列 （1）
复习回顾
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数。
2.数列的通项公式：
数列an 的第
数关系式，即 an
n
f
项
(n)
an
(n
与项数n 之间的函
N*) 。
引例1
研究发现我国儿童年龄在2-12周岁 之间，其标准的身高、体重大致成 规律性变化：相差7
an am (n m)d .
（这是等差数列通项公式的推广形式 ）
等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d（n∈N*）
推广
an=am +(n-m)d(n,m∈N*)
当 m n 时，d an am . nm
例2、在等差数列an中，已知
a5 10，a12 31，求首项a1与公差d及a19 . 解2： d a12 a5 31 10 3 .
1 3
∴a13 a1 (13 1)d 1 (13 1) 3 37 .
练习3
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求 a13
解2： d a7 a4 19 10 3 . 74 74
a13 a4 (13 4)d 10+9 3 37 .
课时小结 1.等差数列的定义：
an+1-an=d(n≥1); 2.等差数列的通项公式
相差4
（3）1896，1900，1904，…，2008，2012，（2016 ）
你能预测出第31届 奥运会的时间吗？
1.等差数列
d=7
(1) 84，91，98，105，112，…，14d7=2，
(2) 12，14，16，1185，4.20，…，30，d=4
(3) 1996，2000，32004，2008，2012，
解得：a1 2 ，d 3 ，
a19 2 (19 1) 3 52 .
说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.
探究：已知等差数列{an}中，公差为d，则 an 与 am (n , m ∈ N*) 有什么关系？
解：由等差数列的通项公式知
an a1 (n 1)d ，① am a1 (m 1)d ，② ①－② an am (n m)d ，
3n 11
a20 3 20 11 49.
说明：
这道题是在等差数列通项公式的四个量中，知
道 公式a中1 ，的d
，n ，求 an 。体现了等差数列通项
“知三求一”方程思想。
例1. ⑵ -401是不是等差数列 -5，-9，-13… 的项？ 如果是，是第几项？
解：⑵∵ a1 5, d 9 (5) 4,
2016
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的
请前共一同问项特：点的它：差从都们等第有于2什项同起么一，个共常每同数一特，项点那么？这个数列
就与叫它做的等前差一数项列的. 差等于同一个 这表常个示数常. 。数叫做等差数列的公差，公差通常用 d
即an+1 an d(n 1)
练习1
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理 由。
2.等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d.
在等差数列通项公式中，有四个量，
a1 ，d ，n ，an ，
知道其中的任意三个量，就可以求 出另一个量，即知三求一 .
例1. ⑴ 求等差数列 8，5，2，…的第20项。
解：⑴ ∵ a1 8 ，d 5 8 3,
an a1 (n 1)d 8 (n 1) (3)
a4 15,a7 27, a10 39
2. -20是不是等差数列0，- 7 ，-7…中的项； 2
20
0
(n
1)
7 2
n
47 7
N
*(舍去)
例2、在等差数列an中，已知
a5 10，a12 31，求首项a1与公差d及a19 .
解：由等差数列通项公式 得：
{a1 4d 10
aan1=1a11+d(n3-11)d
说 明：由定义 an+1 an d 知 当 d = 0 时，an+1 =an 数列是常数列；
当 d > 0 时，an+1 an 数列是递增数列；
当 d < 0 时，an+1 an 数列是递减数列.
请试着找规律填空： 8，5，2，-1 ，（ -4 ） ，（ -7 ） ，……
思 考：在这个数 列中a20=？
an 5 4(n 1) 4n 1
令 401 4n 1 解得：n 100 .
即 -401是数列的第100项。
说明：判断一个数是否为数列的项，只须令通 项公式等于这个数，得到关于n的方程。若方 程有正整数解，则它就是，否则不是。
练习2
an a1 (n 1)d
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
an=a1+(n-1)d( n≥1) . 3.等差数列的通项公式的推广
an=am+(n-m)d
4.当 m n 时，d an am . nm
课后作业
1.教材第40页 习题2.2 A组 1，4
2.思考： 某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价
为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0， 需要支付多少车费？
an a1 (n 1)d
不完全归纳
由此得到：an a1 (n 1)d.（通项公式）
分析2：根据等差数列的定义：
a2 a1 d
（1）
a3 a2 d
（2）
a3 d
an an1 d
（3） （n 1）
将上面 n 1 个等式相加得：
an a1 (n 1)d
累加法
由此得到：an a1 (n 1)d.（通项公式）
年龄 2 3 4 5 6 … 11 12
身高 84 91 98 105 112 … 147 154
（cm）
体重 12 14 16 18 20 … 30 32
（kg）
相差2
你能预测12岁儿童 的身高和体重吗？
（1）84，91，98，105，112，…，147， 154.
引例2 1896年，雅典举行第一届现代奥运 会，到2008年的北京奥运会已经是 第29届奥运会。
（1）1，3，5，7… 是 a1=1,d=2
（2）9，6，3，0，-3… 是 a1=9,d=-3 （3）-8，-6，-4，-2，0… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3…
是 a1=3,d=0
(5)1,
1 2
,
13说主, 14明要,：是15判由,K断定一义个进数行不列判是是断不：是等差数列，
（6）15，12，1看0，a8n，+1-6a…n是不是不同是一个常数。
问题：如果已知一个等差数列的首项是 a1 ，
公差是 d ，那么这个数列的通项an 能求出吗？ 分析1：根据等差数列的定义：
a2 a1 d , a3 a2 d , a4 a3 d ,
所以 a2 a1 d ,
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d ,
a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d ,
12 5 12 5
a1 a5 (1 5)d 10 4 3 2 .
a19 a12 (19 12)d 31 (19 12) 3 52 .
练习3
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求 a13
解1：依题意得：aa11
3d 6d
10 19
解之得：
a1 d