2 筹算


―运筹于帷幄之中，决胜于千里之外” “筹”——筹策，小竹棍； “算筹”（counting rods）——用于计算的 小竹棍，算器 记数规则：纵式筹码，横式筹码 空位：□ 〇 0

敦煌纸卷中的“九九表”（AD900）
三 《九章算术》与刘徽
琢磨推敲细思量， 说方道圆话短长。 若把《原本》比《算术》， 此中翘楚是《九章》。 ——严敦杰
宋元：960-1368AD
中国古代数学的辉煌时代 秦九韶：《数书九章》1247 杨辉： 《杨辉算法》1275 李冶： 《测圆海镜》1248 朱世杰：《四元玉鉴》1303
明代：1368-1644AD
吴敬：《九章算法比类大全》1450 商业数学—珠算 程大位：《算法统宗》1592

刘徽：《九章算术注》（264AD） 祖冲之：3.1415926<π<3.1415927

刘 徽（造像）
祖冲之（造像）
隋唐:589-960AD
国家数学教育 国子监:明算科 李淳风:编纂“十部算经” 周髀算经、九章算术、海岛算经 缀术(唐朝佚） 数术记遗（南宋补） 孙子算经、张丘建算经、夏侯阳算经 五曹算经、五经算术 缉古算经
―算术”乃社稷民生之大用！



昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。请问 古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可 得尺寸而度。请问数安从出？ 商高曰：数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩， 矩出于九九八十一。故折矩以为句广三，股修四， 径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成 三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之 所以治天下者，此数之所生也。 周公曰：大哉言数。 …… ---《周髀算经》

方田 与田亩丈量有关的面积、 分数问题； 粟米 以谷物交换为例的各类比 例问题； 衰分 按比例分配和等差数列问 题； 少广 由田亩计算引出的分数、 开方问题； 商功 与土方工程有关的体积问 题； 均输 与摊派劳役和税收有关的 比例问题； 盈不足 由两次假设求解复杂算 术问题的特殊算法； “方程” 一次线性方程组问题； 勾股 勾股定理及其应用。
1 《九章算术》
成书年代 “往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯 张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因 旧文之遗残，各称删补。故校其目与古或异，所 论者多近语也。” ——刘徽：《九章算术注》 张苍，北平侯，250—152BC，秦汉两朝官员 耿寿昌，大司农，73BC， 由此推测《九章算术》初成于秦，修订于汉。

西方数学的第一次传入
1607 徐光启、利玛窦合译 《几何原本》 1609 李之藻、利玛窦合译 《同文算指》

徐光启与利玛窦
清代：1665-1910AD
中国古典数学渐次衰微 乾嘉时期 《数理精蕴》100卷 梅文鼎 年希尧、明安图、汪莱、李锐、戴煦
西方数学的再次传入
《几何原本》1857,李善兰，伟烈亚利 又译《代数术》《代微积拾级》 《代数术》 《微积溯源》《三角数理》 1874,华蘅芳， 傅兰雅 《决疑数学》1876,华蘅芳，傅兰雅 《形学备旨》1884,刘永锡、狄考文 《代数备旨》1891，邹立文、狄考文 《八线备旨》1893,谢洪赉、潘慎文
第三讲
中国古代数学
概 述
石器时代（4000BC）
—仰韶文化· 西安半坡遗址 陶器上的刻划符号—文字的起源
人面陶盆中 的几何图案
几何图案 —对称
三角形数？
夏商周：青铜时代 —1600BC
数字符号的形成
甲骨文
金文
甲骨文中的数 字符号
伏羲执矩，女娲执规：数学崇拜？ 东汉画像石（山东武梁祠）

近代数学在中国的兴起
1912 北京大学数学系-中国第一个大学数学系： 冯祖荀（日本京都帝国大学） 1920 清华大学“算学系”：郑之蕃（美国康 奈尔大学） 1920 南开大学数学系：姜立夫（哈佛大学） …… 1928 上海交通大学数学系 1935 中国数学会—上海交大图书馆成立大会

最初筹码中没有“零”的符号，先是用空位表示，后来为 了避免运算过程中出错，借用古书缺字符号“□”，而 “□”的书写很自然的演化为○，这一记号在宋元算书的 演算中广泛使用。
意义

―用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对 的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。 这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简 单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的 简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使 我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我 们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德 和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这 成就的伟大了。” ——拉普拉斯
Байду номын сангаас
春秋战国：400BC
“九九口诀”—齐恒公招贤纳士 《墨经》：圜，一中同长也； 平，同高也; 《庄子》：“一尺之棰” 《考工记》：分数算法

秦汉：221BC-220AD
初等数学体系的形成 《算数书》 《周髀算经》 《九章算术》
魏晋南北朝：220-588AD
初等数学理论的发展
甲骨文数字：十进位位值制的萌芽

1983年陕西旬阳出土的西汉象牙算筹
10进位位值制记数法

纵式筹码

横式筹码
记数规则

―凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵； 千十相望，万百相当” （《孙子算经》）


“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张” （《夏侯阳算经》） 例如：752836

用空位符号“□”表示零，后演变为“○”。

一 算筹与筹算
1 数字的起源 从“数”谈起
數 数

《易 · 系辞传》：“上古结绳而治，后世圣 人易之以书契”

郑玄（东汉）：“事大，大结其绳；事小， 小结其绳。结之多少，随物众寡。
(左)基普（quipu） 南美印加（Inca）部落用来记事的结绳，秘鲁 利马Larco博物馆馆藏。 (右) “基普”上的绳结，上面一结5道，表示500；中间的结8道， 表示80；下面的结为6道，表示6。这样就表示了586。
2
注释者
刘徽，魏晋间人，263AD年注释《九章算术》 “徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂， 总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢 竭顽鲁，采其所见，为之作注。” ——刘徽：《九章算术注》