第三章 时域分析法习题及解答3-1. 假设温度计可用11+Ts 传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。
发现需要min 1时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少? 解： 41min, =0.25min T T = 1111()=1-e0.1, =ln 0.9t h t t T -=-T21T22()=0.9=1-eln 0.1t h t t T -=-，210.9ln 2.20.55min0.1r t t t T T =-===3-2.系统在静止平衡状态下，加入输入信号t t t r +=)(1)(，测得响应为t e t t C 109.0)9.0()(--+=试求系统的传递函数。
解：2210.90.910(s+1)()=10s (s+10)C s s s s =+-+22111R(s)=s s s s ++=()10()()10C s s R s s φ==+t0 1 2 3 4 5 6 7∞h (t )0 1.61 2.97 3.72 4.38 4.81 5.10 5.36 6.00解： 设()1K s Ts φ=+11()()()()1(1)K C s s R s K s Ts s s T φ=⋅==-++1()t Th t K Ke-=-()6h K ∞==116 1.61()66 1.61, ln 0.3126Th t e T --=-=-==-63.2 () 3.21T s s φ∴==+3-4.已知系统结构图如图3-49所示。
试分析参数a 对输出阶跃响应的影响。
解：1()()111KKTs s Kas T Ka s Ts φ+==++++1()()()()1KC s s R s s T Ka s φ=⋅=⋅++11=1s T aKK s T aK +⋅⋅++11=()1s K s T aK -++1h(t)=(1-e )t T aKK -+当a>0时，系统响应速度变慢；0Ta K -<<时，系统响应速度变快。
3-5.设控制系统闭环传递函数为2222)(nn ns s s ωξωωΦ++=试在［s ］平面上绘出满足下列各要求的系统特征方程式根的可能分布的区域。
1.707.01>>ξ， 2≥n ω2.05.0>>ξ， 24≥≥n ω3.5.0707.0>>ξ， 2≤n ω解：①0.707<<1, 2n ξω≥②0<0.5, 24n ξω≤≤≤③0.50.707, 2n ξω≤≤≤题解3-5（1）题解3-5（2） ）3-6.已知某前向通路的传递函数(如图3-50所示)12.010)(+=s s G今欲采用负反馈的办法将阶跃响应的调节时间s t 减小为原来的1.0倍，并保证总放大系数不变。
试选择H K 和0K 的值。
解：0010()10110()0.21()0.21101110H H HHK K G s K K s K G s s K s K φ+===+++++10K 101100.2T 0.20.10.02110H H K K K K φφ⎧===+⎪⎪⎨⎪=⨯==+⎪⎩ 解得：00.9 =10H K K =3-7.设一单位反馈控制系统的开环传递函数为)11.0()(+=s s Ks G试分别求出当110-=s K 和120-=s K 时系统的阻尼比ξ，无阻尼自然频率n ω，单位阶跃响应的超调量%σ及峰值时间pt ，并讨论K 的大小对系统性能指标的影响。
解： 22()10()1()0.11010G s K Ks G s s s K s s K φ===+++++2100=10, (s)=s 10100K s φ++210100 12102n n n ωωξξω=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪⎩21%=e100%16.3%ξπξσ--⨯=20.3621p n t sωξ==-2200=20 (s)=s 10200K s φ++，214.142000.353210n n n ωωξξω⎧==⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩21%=e100%30%ξπξσ--⨯=20.2371p n t sωξ==-K 增大使%,p t σ↑↓，但不影响调节时间。
3-8. 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-51所示。
如果该系统属于单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数。
解： 222()2nn n s s s ωφξωω=++212%=e 100%30%0.357 33.63 0.1 1n p n t ξπξσξωωξ--⎧⨯=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩==⎪-⎪⎩21131()1131() ()2411311()(24)s s G s s s s s s φφφ===++-+3-9.设系统闭环传递函数121)()()(22++==Ts s T s R s C s ξΦ 试求1．2.0=ξ；s T 08.0=；4.0=ξ；s T 08.0=；0.8ξ=；s T 08.0=时单位阶跃响应的超调量%σ、调节时间s t 及峰值时间p t 。
2．4.0=ξ；s T 04.0=和4.0=ξ；s T 16.0=时单位阶跃响应的超调量%σ、调节时间s t 和峰值时间pt 。
3．根据计算结果，讨论参数ξ、T 对阶跃响应的影响。
解：2222221()212n n n T s s s s s T T ωφξξωω==++++21%e100%ξπξσ--=⨯2 3.51p s n n t t ξωωξ==- 1. 0.08T =0.2 0.4 0.8 % 52% 25% 0.5%0.26 0.27s 0.42s1.2s 0.6s 0.38s p s t s t ξσ2. =0.4 ξ0.04 0.08 0.16% 25% 25% 25%0.14 0.27 0.55 0.3 0.6 1.2p s T t s s st s s s σ3. ,T ξ改变使闭环极点位置改变，从而系统动态性能发生变化。
,%,,,,,%,p s p s T t t T t t ξσξσ↑↓↑↓↑↑↑不变,不变不变。
3-10. 已知图3-52(a)所示系统的单位阶跃响应曲线图3-52(b)，试确定1K 、2K 和a 的数值。
解: 由系统阶跃响应曲线有⎪⎩⎪⎨⎧=-===∞oo o op t h 3.333)34(1.03)(σ系统闭环传递函数为222212212)(n n n s s K K as s K K s ωξωω++=++=Φ (1) 由 ⎪⎩⎪⎨⎧===-=--oo o o n p e t 3.331.01212ξξπσωξπ 联立求解得 ⎩⎨⎧==28.3333.0n ωξ由式（1）⎩⎨⎧====222110821n n a K ξωω另外3lim 1)(lim )(2122100==++=⋅Φ=∞→→K K as s K K s s s h s s3-11. 测得二阶系统图3-53(a)的阶跃响应曲线如图3-53(b)所示。
试判断每种情况下系统内、外两个反馈的极性(其中“0”为开路)，并说明其理由。
解：121()1K KsG s K s s =⋅m2111221112211()11K K KK K s ss s K s K s K K KsK s s φ⋅==⋅m m m m m(1) 单位阶跃响应为等幅振荡，故闭环极点为纯虚根，故内回路断开，外回路为负反馈； (2) 单位阶跃响应为发散，内回路为正反馈，外回路为负反馈；(3) 单位阶跃响应为近似斜坡信号，故外回路断开，内回路为负反馈；(4)单位阶跃响应为加速度信号，闭环极点为原点上2个极点，故内回路开路，外回路也开路。
3-12. 试用代数判据确定具有下列特征方程的系统稳定性。
1．010092023=+++s s s2． 020092023=+++s s s3． 025103234=++++s s s s解：321. 2091000s s s +++=3 210. 1 9 20 100209100=4 020100Routh s s s s ⨯-Routh 表第一列系数均大于0，故系统稳定。
322. 2092000s s s +++=3 210. 1 9 20 200209200= 1 020200Routh ss s s ⨯--Routh 表第一列系数有小于0的，故系统不稳定。
4323. 310520s s s s ++++=43 2. 3 5 2 10 1 0105-347==4.7 21010 Routh s s s ⨯ 10 4.71102= 3.264.72s s ⨯-⨯-Routh 表第一列系数有小于0的，故系统不稳定。
3-13. 设单位反馈系统的开环传递函数分别为1．)5)(1()1()(+-+=*s s s s K s G ； 2．)5)(1()(+-=*s s s K s G 试确定使闭环系统稳定的开环增益K 的范围(传递函数)(s G 中的11-s 称为不稳定的惯性环节。
*K 为根轨迹增益)。
解：(1)1. (s)=(1)(5)K s G s s s *+-+ ()(1)(5)(1)D s s s s K s *=-+++324(5)s s K s K **=++-++3 210. 1 5 4 420 >040Routh s K s K K K s s K *****-⨯-->由Routh 表第一列系数0>得20, 35K K K **>=故当43K >时系统稳定。
2. (s)=(1)(5)K G s s s *-+32()(1)(5)45D s s s s K s s s K **=-++=+-+ 不满足必要条件，系统不稳定。
3-14. 试确定图3-54所示系统的稳定性.解：210110(1)(1)(). ()210(21)1(1)s s s s a G s s s s s s s +++=⋅=⨯+++232()= (21)10(1)21101D s s s s s s s +++=+++3 210. 1 10 21 12101>0 211Routh s s s s -系统稳定。
21010(2)(). ()10(101)102101(2)s s b s s s s s s φ+==+++++2()= 10210D s s s ++满足必要条件，故系统稳定。
3-15. 已知单位反馈系统的开环传递函数为)12.001.0()(2++=s s s Ks G ξ试求系统稳定时，参数K 和ξ的取值关系。
解：2()(0.010.21)0D s s s s k ξ=+++=32()201001000D s s s s k ξ=+++=3210: 1 100200 1002000100 020 1000Routh s s kks s k ξξξ>->>由Routh 表第一列系数大于0得0020k k ξξ>⎧⎪>⎨⎪<⎩，即)0,0(20>><k kξξ3-16. 设系统结构图如图3-55所示，已知系统的无阻尼振荡频率s rad n 3=ω。