控制系统的超前校正设计摘要：用MATLAB 进行控制系统的超前校正设计是对所学的自动控制原理的初步运用。
本课程设计先针对校正前系统的稳定性能，用MATLAB 画出其根轨迹、奈奎斯特曲线及伯德图进行分析，是否达到系统的要求，然后对校正装置进行参数的计算和选择，串联适当的超前校正装置。
最后用MATLAB 对校正前后的系统进行仿真分析，校正后的系统是否达到要求，并计算其时域性能指标。
关键词： 超前校正 根轨迹 伯德图 仿真1. 超前校正的原理和方法1.1超前校正的原理所谓校正，就是在调整放大器增益后仍然不能全面满足设计要求的性能指标的情况下，加入一些参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，达到设计要求。
无源超前网络的电路如图1所示。
如果舒服信号源的内阻为零，输出端的负载阻抗视为无穷大，那么超前网络的传递函数可以表示为：1a sa c s 1sT G T ++（）= ………………………………………………(2-1)上式中，122a 1R R R +=>， 1212R RT C R R =+……………………（2-3） 通常情况下，a 为分度系数，T 为时间常数，根据式（2-1），当我们采用无源超前网络进行串联校正的时候，整个系统的开环增益会下降a 倍，所以需要提高放大器的增益来进行补偿。
图1 无源超前网络电路图同时，根据上式，我们可以得到无源超前网络c a s G （）的对数频率特性。
超前网络对频率在1/aT 至1/T 之间的信号有这明显的微分作用，在该频率段内，输出信号相角比输入信号相角超前，这也即是超前校正网络名称的由来。
在最大超前角频率m ω处，具有最大超前角m ϕ。
超前网络的相角为：c arctga arctgT ϕωω-ω（）=T将上式对ω求导并且令其为零，得到最大超前角频率：m 1/ω=将上上式代入上式，得最大超前角：m a 1arcsin a 1ϕ-==+ ……………………………………（2-4）同时还容易得到m c ''ω=ω。
最大超前角m ϕ仅仅与衰减因子a 有关，a 值越大，超前网络的微分效果越强。
但是a 的最大值还受到超前网络物理结构的制约，通常情况下，a 取为20左右，这也就意味着超前网络可以产生的最大相位超前约为65°，如果所需要的大于65°的相位超前角，那么就可以采用两个超前校正网络串联实现，并且在串联的两个网络之间加入隔离放大器，借以消除它们之间的负载效应。
所以通过以上的分析发现，利用超前网络进行串联校正的基本原理，是利用超前网络的相角超前特性。
只要正确的将超前网络的交接频率1/aT 或1/T 选在待校正系统截止频率的两旁，并适当的选择参数a 和T ，就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求，从而改善系统的动态性能，使校正后的系统具有以下特点：1、低频段的增益满足稳态精度的要求；2、中频段对数幅频特性的斜率为-20db/dec ，并且具有较宽频带，使系统具有满足的动态性能；3、高频段要求幅值迅速衰减，以减少噪声的影响。
1.2超前校正的应用系统的闭环稳态性能要求，可通过选择已校正系统的开环增益来保证。
用频域法设计无源超前网络的步骤如下：1、根据稳态误差要求，确定开环增益K ；2、利用已确定的开环增益，计算待校正系统的相角裕度；根据截止频率c ''ω的要求，计算a 和T 。
令mc ''ω=ω，以保证系统的响应 3、速度，并充分利用网络的相角超前特性。
显然，m c ''ω=ω成立的条件是：m c ϕ''''γ=+γω（） ； c c m lga L '''-ωω（）=L （）=10；根据上式不难求出a 值，然后由式（2-3）确定参数T 。
4、验算已校正系统的相角裕度''γ。
验算时，由式上式求得m ϕ，再由已知的c ''ω算出待校正系统在c ''ω时的相角裕度c ''γω（）。
最后，按照下式计算，m c ϕ''''γ=+γω（）如果验算结果不满足指标要求，说明需要重新选择m ω，一般情况下是使mω增大，然后重复上述步骤。
2控制系统的超前校正设计2.1初始态分析本次课程设计的初始条件为用MATLAB 进行控制系统的超前校正设计，已知一单位反馈系统的开环传递函数是：)5.01)(05.01()(s s s Ks G ++=要求系统跟随2r/min 的斜坡输入产生的最大稳态误差为2°，45≥γ。
由本次课程设计要求，首先根据已知条件调整开环增益。
因为题目要求在2r/min 的斜坡输入下，所以R=12又因为ss 12e 2K=≤因此，选取K=6（rad ）-1 ，则待校正的系统开环传递函数为6s s s s G （）=（1+0.05）（1+0.5）上式为最小相位系统，用MATLAB 画出系统的伯德图，相应程序为：num=[6];den=[0.025,0.55,1,0]; bode(num,den); grid得到的图形如图2所示，-150-100-50050M a g n i t u d e (d B)10-110101102103P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/s)图2校正前的系统伯德图然后应用MATLAB 求校正前的相角裕度和幅值裕度，相应程序为： num=[6];den=[0.025,0.55,1,0]; >> sys=tf(num,den); >> num=[6];den=[0.025,0.55,1,0]; sys=tf(num,den); margin(sys);[gm,pm,wg,wp]=margin(sys) 得到的图形如图3所示，-150-100-50050M a g n i t u d e (d B )10101010103P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = 11.3 dB (at 6.32 rad/s) , Pm = 23.3 deg (at 3.17 rad/s)Frequency (rad/s)图3 校正前系统的裕度图由上图可得: 相角裕度m P =23.3deg 截止频率c ω=3.17r/s 幅值裕度m G =11.3dB用MATLAB 画出其根轨迹，相应的程序段为： num=[6];>> den=[0.025,0.55,1,0]; >> rlocus(num,den);Title （'' 控制系统的根轨迹） 得到如图4所示根轨迹，-80-60-40-2002040-60-40-20204060Root LocusReal Axis (seconds -1)I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)图4 校正前的系统根轨迹图2.2超前校正分析及校正2.2.1校正装置参数的选择与计算对于本题目系统，试选取m c 4rad /s ''ω=ω=，可得：c lg|G j |=-3.64dB L '''''ωω（）=20（）由c c m d L L '''-ωω（）=（）=10B ，解得a=2.3由m 1/ω=， 解得 T=0.165S 因此超前传递函数为：c 10.38s2.3s 10.165sG ++（）=为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高2.3倍，否则将不能保证稳态误差要求。
超前网络的参数确定后，已校正系统的开环传递函数为：c6s s s s s s s G （1+0.38）（）G （）=（1+0.5）（1+0.05）（1+0.165）显然，已校正系统的c ''ω=4rad/s ，算得待校正系统的c °''γω（）=15.3，而由式（2-4）得：m 23.2ϕ=°故已校正系统的相角裕度为：m c °<45ϕ''''γ=+γω（）=38.5°发现不满足要求，说明c ''ω取得还不够大，试取c ''ω=4.5rad/s ，同上可得c c lg jd L '''''ωω（）=20|G （）|=-5.54B 解得： a=3.6 T=0.117因此，此时超前传递函数为：c 10.421s3.6s 10.117sG ++（）=为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高3.6倍，否则不能保证稳态误差要求。
确定参数后，已校正系统的开环传递函数为：c10.421s s s s s s 10.117s G ++6（）（）G （）=（1+0.5）（1+0.05）（）所以，已校正系统m c °>45ϕ''''γ=+γω（）=45.7°，c 4.5rad/s ''ω=，从而得到：c °''γω（）=11.3 而由式（2-4）可算出m 34.4ϕ=°，故已校正系统的相角裕度为：m c 45.7ϕ''''γ=+γω=（）°>45° 可见，其满足系统跟随2r/min 的斜坡输入产生的最大稳态误差为2°，45≥γ的题目要求。
2.2.2校正后的验证以下，应用MATLAB 软件来对所设计的超前校正装置参数进行验证。
程序为： num=[2.526,6];den=[0.003,0.09,0.667,1,0]; >> sys=tf(num,den);margin(sys);[gm,pm,wg,wp]=margin(sys) 得到的图形如图5所示，-150-100-50050M a g n i t u d e (d B )10-110101102103P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = 14.3 dB (at 12.5 rad/s) , Pm = 45.3 deg (at 4.51 rad/s)Frequency (rad/s)图5 校正后系统的裕度图相角裕度：m P =45.3deg ； 截止频率：c =4.52rad/s ； 幅值裕度：m G =14.2dB 满足要求。