h1′ = h 2
′ h2 = h3
垂轴放大率为 β = h ′ / h 1
′ ′ ′ ′ hk h1′h 2 h3 hk β = = L = β 1β 2 β 3 L βk h 1 h 1h 2 h 3 hk
系统总的垂轴放大率为各单球面的垂 轴放大率之乘积。 轴放大率之乘积。
′ h′h2h3 ′ ′ ′ hk hk 1 β= = L = β1β 2β 3Lβk h1 h1h2h3 hk
P2′ =
P2 f ′ f1′
f2′P 2 P′ = 2 P − f2 2
f ′ = f1′ ( P′ = 2
P f′ P′ = 2 2 f1′
′ ′ f2 f1′f2 )= P − f2 −∆ 2
′ P f1′f2 P (∆ − f2 ) 2 2 ′= ′ × =− f2 f2 f1′ − ∆ ∆ ∆
S
− P /(− f ) = (h − h′) /(−h′)
f′ f + =1 P′ P
P′ / f ′ = (h − h′) / h
xx′ = ff ′
共轴系统的高斯公式和牛顿公式与薄透 镜和单球面中的公式在形式上完全相同。 镜和单球面中的公式在形式上完全相同。 共轴系统的一对焦点， 共轴系统的一对焦点，一对主点和一对 节点，统称为系统的基点（ 节点，统称为系统的基点（cardinal points） ） 对于给定的光学系统， 对于给定的光学系统，其基点之位置可 通过光线追迹逐步成像，作图或计算求得。 通过光线追迹逐步成像，作图或计算求得。 2、计算法求组合共轴球面系统的基点 、
3a −3a + =1 得 P′ − a 1
−3 P′ = a = −1.5a 1 2
同理对于第二个透镜， 同理对于第二个透镜，有
a −a + =1 P′ (−3/ 2)a − 2a 2
P′ = 7a / 5 =1.4a 2
例题：凸透镜焦距为 厘米 厘米， 例题：凸透镜焦距为10厘米，凹透镜焦距 厘米， 厘米。 为4厘米，两个透镜相距 厘米。已知物在凸 厘米 两个透镜相距12厘米 透镜左方20厘米处 厘米处， 透镜左方 厘米处，计算像的位置和横向放大 率并作图。 率并作图。
§1-4
薄透镜的成像公式和放大率
一、薄透镜（thin lens）成像 薄透镜（ ） 薄透镜是最简单的共轴球面系统， 薄透镜是最简单的共轴球面系统，它由 两个单球面组成。 两个单球面组成。两球面之间的间距 d 比 小很多。 两折射球面的曲率半径 r1、 r2 小很多。 当 d 0时，两球面顶点重合为一点， 时 两球面顶点重合为一点， 称为光心 光心（ 称为光心（optical center） ） 薄透镜分为凸透镜和凹透镜。 薄透镜分为凸透镜和凹透镜。 凸透镜的中央厚度大于边缘部分， 凸透镜的中央厚度大于边缘部分，有 双凸、平凸、弯凸； 双凸、平凸、弯凸；凹透镜的边缘厚度大 于中央部分，有双凹、平凹、弯凹。 于中央部分，有双凹、平凹、弯凹。
P = 20−12 = 8cm 虚 ） 2 = −4cm （ 物 , f′ 2
1 1 1 − = ′ P′ P2 f2 2
P′ β2 = 2 = −1 P 2
得 P′ = −8cm(虚 ) 象 2
∴β = β1β2 =1
二、共轴系统的基点和基面 1841年高斯提出共轴系统的一般理论： 年高斯提出共轴系统的一般理论： 年高斯提出共轴系统的一般理论 在理想共轴系统中， 在理想共轴系统中，物方的任一点都和像方的 一点共轭。同样， 一点共轭。同样，相应于物方的每一条直线或 每一个平面，在像方都应有一条共轭直线或一 每一个平面， 个共轭平面。 个共轭平面。 这样共轴系统就成了点与点、 这样共轴系统就成了点与点、直线与直 线以及平面与平面之间的共轭关系的纯几何理 利用基点与基面， 论。利用基点与基面，可描述共轴系统的基本 光学特性。 光学特性。
f1d −3a⋅ 2a xH = H1H = = = 3a ∆ − 2a f2′d a⋅ 2a ′ x′ = H2H′ = = = −a H ∆ − 2a f1 f2 (−3a)(−a) f = HF = = = −a ∆ − 2a
F´
F
例题： 例题：已知入射光线求出射光线
S M F O F´ Q´ M´ N F´ M N Q O F
已知物点求像点
N M O S F F´ S´ S F´ M S´ N O
§1-5
共轴球面系统
一、共轴球面系统的逐次成像
个折射球面组成一共轴球面系统， 由 k 个折射球面组成一共轴球面系统， 物体 SQ 经过这个光学系统所成的像为 SKQK
拉格朗日—亥姆霍兹恒等式 拉格朗日 亥姆霍兹恒等式
′ ′ ′ ′ ′ n1h1µ1 = n1h1′µ1 = n2 h2 µ 2 = L = nk hk µ k
例：惠更斯目镜 组成， 由两个凸透镜 L1 L2组成，用逐次成像 法求像位置。 法求像位置。
已知： 已知： f1′ = 3a, f2′ = a, d = 2a 物点 Q 位于L1前a处 处 解： - P1= a ，代入第一个透镜的高斯公式
Φ = (nL −1)(1/ r1 −1/ r2)
透镜制造者公式（ 透镜制造者公式（lens-maker，s formula） ）
1 f ′ =−f = (nL −1)(1/ r1 −1/ r2)
1 1 1 1 (nL −1 d ) = − = (nL −1 )[ − + ] f′ f r1 r2 nr1r2
QM = − P FH = − f MN = h − h′ NH = − h′ − P /( − f ) = ( h − h′) /( − h′)
S
N ′Q ′ = P ′ H ′F ′ = f ′ M ′N ′ = h − h ′ M ′H ′ = h P ′ / f ′ = ( h − h ′) / h
各种薄透镜
对第一折射面
′ ′ n1 n1 n1 − n1 − = = Φ1 P′ P1 r1 1
对第二折射面
′ ′ n2 n2 n2 − n2 − = = Φ2 P2′ P 2 r2
P1′ = P2
′ n1 = n 2
n′ n − =Φ P′ P
薄透镜成像公式
′ n2 n1 − = Φ1 + Φ2 = Φ P′ P1 2
µ′ n 1 γ= = ⋅ µ n′ β
若薄透镜处于空气中， 若薄透镜处于空气中，则 n = n´= 1，设薄 透镜材料的折射率为 nL，两球面的曲率半径 为 r1 、r2，则可得
′ n1 − n1 nL − n = = Φ1 r1 r1 ′ n2 − n2 n′ − nL = = Φ2 r2 r2
n′ n − =Φ P′ P
n′ 当 →−∞时 P′ = f ′ = P ， f´为薄透镜的像方焦距 为薄透镜的像方焦距 Φ −n 当 ′ →∞时 P = f = P ， Φ f 为薄透镜的物方焦距
薄透镜的高斯公式： 薄透镜的高斯公式：
f′ f + =1 P P
薄透镜的垂轴放大率和角放大率
h′ nP′ β= = h n′P
（3）物方焦距与像方焦距 ） 物方主焦点到物方主点的距离为物方焦 距，记为 f 。像方主焦点到像方主点的距 离为像方焦距，记为 f´。 离为像方焦距， 。 单球面的主点与其顶点重合， 单球面的主点与其顶点重合，而薄透 镜的主点与其光心重合。 镜的主点与其光心重合。 （4）节点（nodal points） ）节点（ ） 从薄透镜作图法成像可知， 从薄透镜作图法成像可知，置于空气中 的薄透镜有一条特殊光线， 的薄透镜有一条特殊光线，它通过光心不 发生偏折。 发生偏折。
对于两边是同一介质的任意组合的理想 光学系统来说， 光学系统来说，一个离轴物点发出的许多光 线中，总有一条入射光与其对应的出射光平 线中，总有一条入射光与其对应的出射光平 行。 这对共轭光线与光轴的交点为一对共轭点 称为节点。 称为节点。物方节点记为 k；像方节点记为 ； k´。 。
k´ k
1、计算法求物像关系： 、计算法求物像关系：
定义： ⑴ 定义：
′ F1′F 2 = ∆ , H 1′ H 2 = d , H 2 H ′ = x ′ , H ′F ′ = f ′ H
有物像关系： ⑵ F1´与F´有物像关系： 与 有物像关系
f 2′ f 2 + =1 P2′ P2
S
f 2′P2 P2′ = P2 − f 2
S
⑶
f1′ − f ′ = P2′ − P2
个球面， 对应 k 个球面，可得 k 个物像距公式
′ ′ n1 n1 n1 − n1 − = P′ P1 r1 1
LL
L
′ n′ nk nk − nk k − = Pk′ Pk rk
两相邻球面顶点的距离为
d 12 = P′ − P 2 1
d 23 = P2′ − P 3
k
dk − 1, k = Pk′−1 − Pk
基点与基面：主焦点与焦平面； 基点与基面：主焦点与焦平面；主点与主平面 （1）主焦点与焦平面 ） 与无穷远处的像平面共轭的物平面为物 方焦平面。 方焦平面。物方焦平面与主光轴的交点为物 方主焦点， 方主焦点，记为 F。 与无穷远处的物平面共轭的像平面为像 方焦平面。 方焦平面。像方焦平面与主光轴的交点为像 方主焦点， 方主焦点，记为 F´。 （2）主点（principal point）与主平面 ）主点（ ） 共轴系统中存在一对共轭面， 共轴系统中存在一对共轭面，面上任一 对共轭点到主光轴的距离相等。（ 。（β=1） 对共轭点到主光轴的距离相等。（ ）
(∆ − f2 ) f2′ f1′f2′ (∆ − f2 + f1′) f2′ f2′d x′ = P′ − f ′ = + = = H 2 ∆ ∆ ∆ ∆
同理， 同理，定义
xH = H1H, f = H F