解三角形的应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B 点的方位角为α)． 3．方向角相对于某一正方向的角(如图③)．(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45°. (3)其他方向角类似．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( ) (4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角为70°，则∠BAC 等于( )A ．10°B ．50°C ．120°D ．130°答案：D若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：选B ．如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ， 所以∠CBA ＝45°， 而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°. 所以点A 在点B 的北偏西15°.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( )A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km解析：选B ．因为AB ＝1 000×160＝503(km)．所以BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝5032(km)．所以航线离山顶h ＝5032×sin 75°＝5032×sin(45°＋30°)≈11.4(km)． 所以山高为18－11.4＝6.6(km)．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点间的距离为________．解析：由正弦定理得AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．答案：50 2 m(教材习题改编)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距82 n mile ，则此船的航速是_______________n mile/h.解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v＝32.答案：32测量距离问题(高频考点)研究测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．主要命题角度有：(1)两点都不可到达； (2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．[典例引领]角度一 两点都不可到达如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB ．若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ km.【解析】 因为∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°， ∠ACD ＝60°，所以∠DAC ＝60°， 所以AC ＝DC ＝32(km)． 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB ＝64(km)． 所以A ，B 两点间的距离为64km. 【答案】64角度二 两点不相通的距离如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法为：先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离，即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点的距离为________m.【解析】 由题可得，在△ABC 中， AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，所以AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. 所以AB ＝2007 m ．即A ，B 两点间的距离为2007 m. 【答案】 2007角度三 两点间可视但有一点不可到达如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法为：在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB ．若测出AC ＝60 m ，A ＝75°，C ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________m. 【解析】 B ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B ，所以AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)，即A ，B 两点间的距离为20 6 m. 【答案】 206求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．[通关练习]如图，隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距 3 km 的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．解：在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， 所以AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. 所以BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， 所以AB＝5(km)，所以A ，B 之间的距离为 5 km.测量高度问题[典例引领]如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.【解析】 在△P AB 中，∠P AB ＝30°， ∠APB ＝15°，AB ＝60 m ，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin 30°＝ABsin 15°，所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)． 【答案】 30＋303求解高度问题应注意的3个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[通关练习](优质试题·福州综合测试)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为______ m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v ，在Rt △ADB 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝AD cos 60°＝200.在Rt △ADC 中，AC ＝ADcos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.6测量角度问题[典例引领]如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．【解析】 如题图所示，在△ABC 中， AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°.由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207. 由正弦定理得，ABsin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°， 知∠ACB 为锐角， 则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°， 得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 【答案】2114解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．[通关练习](优质试题·惠州第三次调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________．解析：由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝252(3－1)sin(90°＋θ)，即25sin 45°＝252(3－1)cos θ，得到cos θ＝3－1.答案：3－1利用解三角形知识解决实际问题的方法(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型； (2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义．注意两个易错点(1)不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．1.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．已知A 、B 两地间的距离为10 km ，B 、C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， 所以AC ＝107(km)．3.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B ．依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B ．已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h解析：选B ．设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，。