X pk 3
-1
1 8
0
1 8
1
1 4
2
1 2
Ch2-92
1 8
1 0
1 8
1
1 4
4
1 2
1 2
1 8
0
1 8
1
1 4
4
1 8
3 8
1 2
Ch2-93 例2 已知 X 的概率分布为 P( X = k ) = pqk , k = 0,1,2,⋯ 2 其中 p + q = 1, 0 < p < 1, 求 Y = Sin X 的概率分布 ∞ ∞ π p 2m 解 P(Y = 0) = ∑ P( X = 2m⋅ ) = ∑ pq = 2 1− q2 m=0 m=0
y =1− x
3
在R上是单调的，且 x = h(y) = (1 - y)3
x′ = 3(1− y)2
fY ( y) = f X (x)⋅ | x′ | = f X [(1− y)3 ]⋅ | 3(1− y)2 |
3(1− y)2 = ,−∞ < y < +∞ 6 π[1+ (1− y) ]
Ch2-99
∫
f X ( x ) d x ] ′ = f X [h( y)] ⋅ h′( y)
当y≥β时，F(y)=P(Y≤y)=1 所以结论成立
f ( y) = F′( y) = 0
例5 设 求 f Y (y) 解
1 f X (x) = , 2 π (1+ x )
Ch2-98
− ∞ < x < +∞
Y =1− 3 X
Ch2-94
0 F ( y) = * Y 1
y ≤α α< y< β y≥ β
F ( y) = P(Y ≤ y) = P( f (x) ≤ y) Y
然后求导得
fY ( y) = F′( y) Y
（2）公式直接求d.f. ）
例3 已知 X 的 d.f.为 f X (x),Y = aX + b, a ≠ 0, 求 fY ( y )
证 因为Y = g(X)单调，所以反函数 x =h(y) 存在且单调
所以 当y<α时，F(y)=P(Y≤y)=0
h( y)
f ( y) = F′( y) = 0
当α<y<β时，F(y)=P(Y≤y)=P[g(X)≤y]=P[X≤h(y)]
=
−∞
∫
f X (x)dx
h(y) −∞
fY ( y) = F ′ ( y) = [ Y
Ch2-97 定理2.2 设X的密度函数为fX(x),x∈R.若Y = g(X) 定理 为单调函数，则 h( y) = f −1(x) 其中 ′( y)| α < y < β fX [h( y)]⋅ | h fY ( y) = α=m in{lim g(x)} 其它 0 β =m ax{lim g(x)}
0 arcsiny π - arcsiny
π x
2 1 2arcsin y + 2(π − arcsin y) = fY ( y) = 2 π 1− y2 π2 1− y2 π
故
2 , fY ( y) = π 1− y2 0,
0 < y <1 其 他
பைடு நூலகம்
Ch2-102
作业 P. 73 习题二 32. 36. 38
(
y ≤0
)
[
y
Ch2-101
例8 （P68例21） 设 X 的 p.d.f.为
2x , f X (x) = π 2 0,
0 < x <π 其 他
1
y = sin x(0 < x < π )
1 y•
0.8 0.6 0.4 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3
求 Y = sin X 的 p.d.f. 解 由图可知, Y 的取值范围为(0,1) 故当 y ≤ 0 或 y ≥1 时 f Y (y) = 0 当0 ≤ y < 1 时
Ch2-90
§2.4 r.v. 函数的分布
问题 已知 r.v. X 的d.f. f X (x) 或分布律. 求 随机因变量Y= g ( X )的密度函数
fY (y) 或分布律
方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件
Ch2-91
离散型 r.v.函数的分布 函数的分布 设 r.v. X 的分布律为
P( X = xk ) = pk ,
X ≥ 1 ( y − b) 1 ( y − b) 当a < 0 时，F ( y) = P =1− FX Y a a
1 1 fY ( y) = − f X ( y − b) a a 1 1 fY ( y) = f X ( y − b) | a| a
a, b 为常数
Ch2-95
解 F ( y) = P(Y ≤ y) = P(aX + b ≤ y) Y 1 1 ( y − b) 当a > 0 时， FY ( y) = P X ≤ ( y − b) = FX a a 1 1 fY ( y) = f X ( y − b) a a
= FX ( y) − FX (− y)
y ≤0 0, F (y) = Y F ( y) − F (− y), y > 0 X X
y y ]
[
0, 故 fY (y) = 1
[ f X ( y ) + f X (− y ) , y > 0− y 2 y y ≤0 0, y fY (y) = − 1 e 2, y >0 1/2 2πy
例5（P67例20）设 X ~ N (µ ,σ2) , Y = a X +b, 则
1 1 fY ( y) = f X ( y −b) | a| a
=
1 2πσ | a |
e
( y−b−aµ )2 − 2a2σ 2
−∞ < y < ∞
Y ~ N ( aµ +b, a2σ2 ) 特别地 ，若 X ~ N ( µ ,σ 2) , 则 Y=
∞
故 Y 的概率分布为 Y pi -1
pq3 1− q4
0
p 1− q2
1
pq 1− q4
= ∑ pq4m+3 = pq 4 m=0 1− q
∞
3
连续性 r.v.函数的分布 函数的分布 已知 X 的d.f. f (x) 或分布函数 求 Y = g( X ) 的d.f. 方法： （1） 从分布函数出发 ） 当 α< y< β 时
X −µ
σ
~ N(0,1)
例7(P66例18) 已知 X ~ N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y) ) 解 从分布函数出发 F ( y) = P(Y ≤ y) Y 当 y < 0 时，FY (y) = 0
Ch2-100
F ( y) = P( X 2 ≤ y) = P(− y ≤ X ≤ y) 当 y > 0 时， Y
Ch2-96
例4 X ~ E (2), Y = – 3X + 2 , 求 fY (y)
1 1 ( y − 2) 解 fY ( y) = fX | −3| − 3
− 1 − 2⋅ − y32 y −2 ⋅ 2e , − >0 = 3 3 0, 其 他 − 2 −2(23 y) e , y <2 = 3 0, 其他
π
∞ π P(Y =1) = ∑ P( X = 2mπ + ) = ∑ P[ X = (4m+1) π ] 2 0 2 0 ∞ pq 4m+1 = ∑ pq = 1− q4 m=0 ∞ ∞ 3π π P(Y = −1)= ∑ P( X = 2mπ + ) = ∑ P[ X = (4m+ 3) ] 2 2 0 0
k =1,2,⋯
由已知函数Y = g( x)可求出 r.v. Y 的所有 Y x) 可能取值，则 Y 的概率分布为
P(Y = yi ) =
k: g( xk )=yi
∑
pk ,
i =1,2,⋯
例1 已知 X 的概率分布为 求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律 解(1) Y1 pi (2) Y2 pi Y2 pi -3 -1 1