k C15C43 C53C14
P(
A)
C15C43 C53C14 C94
例2 投掷三颗骰子，其中一个出现点数为5，
而另外两个出现的点数不同且不等于5的概 率.
A=“一个出现点数为5，另外两个出现的
点数不同且不等于5”
课件
6
k C31P52
P( A)
C31 5 63
4
例3 5个有区别的球随机的放入10个盒内，求
nA4 Ckm (N 1)km
P(
A4
)
Ckm
(N 1)km Nk
（5）至少有两个球在同一盒子中
nA5 N k CNk k!
P( A5)
Nk
CNk k! Nk
1
P( A2 )
课件
9
几何概型 ( 等可能概型的推广)
例5 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时 间短于十分钟的概率
规范性： P(S) 1
有限可加性：
m m
P Ai P( Ai )
i1 i1
其中 A1, A2, Am 为两两互斥事件。
证明：任意事件A包含的基本事件个数k
满足 k n， 所以 0 P(A) 1。
S包含n个基本事件，据定义 P(S)=1
课件
4
事件 Ai 包含 ni 个事件，且由于Ai (i 1, m)
m
m
互不相容，因此， Ai i 1
包含
ki
个事件
i 1
因此， m
m
ki
m
P( Ai ) i 1
i 1
n
P( Ai )
i 1
例1.从1至9这九个号码中，随机的取4个号码，
数码之和为奇数的概率. A=“4个数码之和为奇数”
课件
5
A包括两个子事件: (1)只有一个奇数（2）只 有三个奇数, 因此，
10分钟
9点 P( A) 10 1 60 6
课件
10点
10
几何概型 设样本空间是一个有限区域S，若样本点
落入S内任何区域A 中的概率与区域A 的测度 成正比，则样本点落入A内的概率为
P( A)
A的测度 S 的测度
L( A) L(S )
课件
11
几何概型的性质：
非负性：A S, P(A) 0
§1.2 概率的定义及其计算
古典定义 几何定义 统计定义 概率的公理化定义
课件
1
概念复习
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果
组成的集合称为样本空间，记为 样本空间的元素，即E 的每个可能的结果,称为 样本点(or基本事件)，常记为 ， = { }
随机事件 —— 样本空间的子集,常记为 A ,B ,… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
恰有3个球放在同一盒内的概率。
A=“恰有3个球在同一盒内”
k C53( P130 P120 )
P
C53( P130 105
P120 )
课件
7
例4 （分房问题）设有 k 个不同的球，每个球 等可能地落入 N 个盒子中（k N）, 设每 个盒子容纳的球数无限，求下列事件的概 率
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
解
n N k
设（1）~（5）的各事件分别为 A1 A5
则 nA1 k!
P( A1)
（2）恰有 k 个盒子中各有一球；
nA1 n
k! Nk
nA2 CNk k !
课件
P(
A2
)
C
k N
N
k!
k
8
（3）某指定的一个盒子没有球；
nA3 (N 1)k
P(
A3
)
(N 1)k Nk
（4）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( m k )；
解 设船1 到达码头的瞬时为 x ，0 x < 24 船2 到达码头的瞬时为 y ，0 y < 24
设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头
课件
13
{(x, y) 0 x 24,0 y 24}
A {(x, y) (x, y) ,
y
0 y( A B) fn ( A) fn (B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
lim
n
fn
(
A)
P(
A)
稳定性
课件
16
频率稳定性的实例
蒲丰投币
投一枚硬币观察正面向上的次数
Buffon n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069
皮尔森投币
24
S 242
SA
1 2
232
222
P( A) 1 SA 0.1207 S
24 x
课件
14
统计定义—频率
定义 设在 n 次试验中，事件 A 发生了nA 次， 则称
fn
(
A)
nA n
为事件A 在这 n 次试验中发生的频率
课件
15
频率的性质
0 fn ( A) 1
fn (S) 1
事件 A, B互斥，则
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
C: 0.0268 G: 0.0187 K: 0.0060 O: 0.0776 S: 0.0634 W: 0.0214
D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
课件
2
等可能（古典）概型
定义 设 E 是一随机试验，它具有下列特点：
基本事件的个数有限 每个基本事件发生的可能性大小相同
则称 E 为 等可能概型
等可能概型中概率的计算：
记 n S中所包含的基本事件的个数
k 组成 A的基本事件的个数
则 P( A) k
n
课件
3
古典概型的性质：
非负性：A S, P(A) 0
规范性： P(S) 1
有限可加性：P
m
Ai
m
P( Ai
)
i 1
i 1
其中 A1, A2, Am 为两两互斥事件。
可列可加性：
P
i 1
Ai
P( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件。
课件
12
例6 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码 头的时间各不相干，而且到达码头的时间在 一昼夜内是等可能的. 如果两船到达码头后 需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小 时， 试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待 空出码头的概率.
Pearson n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005
课件
17
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202