中考数学专项训练--图形旋转变换问题
旋转是图形的一种重要变换．在实际解题中,若我们能恰当地运用图形的旋转变换,往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果．图形的旋转变换,既要借助于推理,但更要借助于直觉和观察,变换的意识与变换的视角,会使这种直觉更敏锐,使这种观察更具眼力．
【例1】(莱芜中考)如图,已知△ABC 是等腰三角形,顶角∠BAC＝α(α＜60°),D 是BC 边上的一点,连接AD,线段AD 绕点A 顺时针旋转α到AE,过点E 作BC 的平行线,交AB 于点F,连接DE,BE,DF.
(1)求证：BE ＝CD ；
(2)若AD⊥BC ,试判断四边形BDFE 的形状,并给出证明． 【解析】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质．
【答案】解：(1)∵△ABC 是等腰三角形,顶角∠BAC＝α(α＜60°),线段AD 绕点A 顺时针旋转α到AE,
∴∠DAE ＝α,AE ＝AD,∴∠BAE ＝∠CAD , 又∵△ABC 是等腰三角形,∴AB ＝AC.
在△ABE 和△ACD 中,⎩⎨⎧AB ＝AC ，
∠BAE ＝∠CAD，AE ＝AD ，
∴△ACD ≌△ABE(SAS ),∴BE ＝CD ； (2)∵AD⊥BC ,AB ＝AC,∴BD ＝CD. ∴BE ＝BD ＝CD,∠BAD ＝∠CAD ,
∴∠BAE ＝∠BAD ,
在△ABD 和△ABE 中,⎩⎨⎧AE ＝AD ，
∠BAE ＝∠BAD，AB ＝AB ，
∴△ABD ≌△ABE(SAS ), ∴∠EBF ＝∠DBF ,
∵EF ∥BC,∴∠DBF ＝∠E FB, ∴∠EBF ＝∠EFB ,∴EB ＝EF, ∴BD ＝BE ＝EF,
∴四边形BDFE 为菱形．
【例2】(吉林中考)(1)如图①,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,以点B 为中心,把△ABC 逆时针旋转90°,得到△A 1BC 1；再以点C 为中心,把△ABC 顺时针旋转90°,得到△A 2B 1C.连接C 1B 1,则C 1B 1与BC 的位置关系为____________；
(2)如图②,当△ABC 是锐角三角形,∠ABC ＝α(α≠60°)时,将△ABC 按照(1)中的方式旋转α.连接C 1B 1,探究C 1B 1与BC 的位置关系,写出你的探究结论,并加以证明；
(3)如图③,在图②的基础上,连接B 1B,若C 1B 1＝2
3BC,△C 1BB 1的面积为4,则△B 1BC 的面积
为______．
【解析】(1)根据旋转的性质得到∠C 1BC ＝∠B 1BC ＝90°,BC 1＝BC ＝B 1C,根据平行线的判定得到CB 1∥BC 1,推出四边形BCB 1C 1是平行四边形,根据平行四边形的性质即可得到结论；(2)过点C 1作C 1E ∥B 1C 于E,于是得到∠C 1EB ＝∠B 1CB,由旋转性质得到BC 1＝BC ＝B 1C,∠C 1BC ＝∠B 1CB,等量代换得到∠C 1BC ＝∠C 1EB,根据等腰三角形的判定得到C 1B ＝C 1E,等量代换得到C 1E
＝B
1C,推出四边形C
1
ECB
1
是平行四边形,根据平行四边形的性质即可得到结论；(3)设C
1
B
1
与
BC之间的距离为h,由已知条件得到相似比,面积比等于底边的比即可求出结论．【答案】解：(1)平行；
(2)C
1B
1
∥BC.
理由如下：如图②,过点C
1作C
1
E∥B
1
C交BC于点E,
则∠C
1EB＝∠B
1
CB.
由旋转可知,BC
1＝BC＝B
1
C,∠C
1
BC＝∠B
1
CB.
∴∠C
1BC＝∠C
1
EB.
∴C
1B＝C
1
E.
∴C
1E＝B
1
C.
又∵C
1E∥B
1
C,
∴四边形C
1ECB
1
是平行四边形,
∴C
1B
1
∥BC；(3)6
◆模拟题区
1．(遵义十一中二模)如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时,点B′
落在对角线AC上,点A′落在CD的延长线上),A′B′交AD于点E,连接AA′,CE.求证：
(1)△ADA′≌△CDE；
(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线．
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD＝CD,∠ADC＝90°,
∴∠A ′DE ＝90°.
根据旋转的性质可得：∠EA′D＝45°, ∴∠A ′ED ＝45°, ∴A ′D ＝DE.
在△ADA′和△CDE 中,⎩⎨⎧AD ＝CD ，
∠ADA ′＝∠EDC，A ′D ＝ED ，
∴△ADA ′≌△CDE(SAS )； (2)∵AC＝A′C ,∠ACE ＝∠A′CE , ∴点C 在AA′的垂直平分线上． ∵AC 是正方形ABCD 的对角线, ∴∠CAE ＝45°. ∵AC ＝A′C ,CD ＝CB′, ∴AB ′＝A′D.
在△AEB′和△A′ED 中,⎩⎨⎧∠EAB ′＝∠EA′D，
∠AEB ′＝∠A′ED，AB ′＝A′D，
∴△A EB′≌△A′ED , ∴AE ＝A′E ,
∴点E 也在AA′的垂直平分线上, ∴直线CE 是线段AA′的垂直平分线. ◆中考真题区
2．(河北中考)如图,△ABC 中,AB ＝AC,∠BAC ＝40°,将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°.得到△ADE ,连接BD,CE 交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求∠ACE 的度数；
(3)求证：四边形ABFE 是菱形．
解：(1)∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°, ∴∠BAC ＝∠DAE＝40°, ∴∠BAD ＝∠CAE＝100°. 又∵AB＝AC, ∴AB ＝AC ＝AD ＝AE,
在△ABD 与△ACE 中,⎩⎨⎧AB ＝AC ，
∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ，
∴△ABD ≌△ACE(SAS )； (2)∵∠CAE＝100°,AC ＝AE, ∴∠ACE ＝1
2(180°－∠CAE)
＝1
2
(180°－100°)＝40°； (3)∵∠BAD＝∠CAE ＝100°,AB ＝AC ＝AD ＝AE, ∴∠ABD ＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°. ∵∠BAE ＝∠BAD＋∠DAE＝140°,
∴∠BAE ＋∠ABD＝180°,∠BAE ＋∠AEF＝180°, ∴AE ∥BF,AB ∥EF.
∴四边形ABFE 是平行四边形, ∵AB ＝AE,
∴平行四边形ABFE 是菱形.
3．(永州中考)同一平面内,△ABC和△ABD如图①放置,其中AB＝BD.小明做了如下操作：
将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA,将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA,如图②,请完成下列问题：
(1)试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形,并说明理由；
(2)连接EF,CD,如图③,求证：四边形CDEF是平行四边形．
解：(1)四边形ABDF是菱形．
理由如下：
∵△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA,
∴AB＝DF,BD＝FA.
∵AB＝BD,
∴AB＝BD＝DF＝FA,
∴四边形ABDF是菱形；
(2)∵四边形ABDF是菱形,
∴AB∥DF,且AB＝DF.
∵△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA,
∴AB＝CE,BC＝EA,
∴四边形ABCE为平行四边形,
∴AB∥CE,且AB＝CE,
∴C E∥FD,CE＝FD,
∴四边形CDEF是平行四边形.。