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方程根与系数的关系
例1：设关于x 的方程ax 2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，
那么实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 变：设关于x 的方程ax 2+（a-1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜2＜x 2，
那么实数a 的取值范围是
变：关于x 的方程04
1)2(2=+-+x a ax ，有两个不相等实数根x 1、x 2，且211x x <-<，那么实数a 的取值范围
例2：已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+1）x+m 2
﹣4=0
（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值．
变：已知关于x 的方程a 2x 2+（2a ﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．
（1）求a 的取值范围；
（2）是否存在实数a ，使方程的两个实数根互为相反数如果存在，求出a 的值；
如果不存在，说明理由．
函数：
已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=x 2+bx+c 的图象与一次函数y=x+1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点，且D 点坐标为（1，0）．
（1）求二次函数的表达式及C 点的坐标；
（2）观察图象，直接写出下面小题的答案：不等式x 2+bx+c ＞x+1的解集为 ；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PC+PE 的值最小？若存在，求出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
（4）求BCE ∆的面积并在抛物线上找点Q 使的BCE ∆和BCQ ∆的面积相等
旋转：
例1．有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )．
①图形旋转时，位置始终保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图，若正方形DCEF 旋转后能与正方形ABCD 重合，
则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有( )个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案．其中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A ．①③
B ． ①④
C ．②③
D ．②④
4．已知：如图，F 是正方形ABCD 中BC 边上一点，延长AB 到E ，使得BE =BF ，
试用旋转的性质说明：AF =CE 且AF ⊥CE ．
5．已知：如图，E 是正方形ABCD 的边CD 上任意一点，F 是边AD 上的点，且FB 平分∠ABE ．
求证：BE =AF ＋CE ．
6．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D =180°，AB =AD ，E ，F 分别是线段BC ，CD 上的点，
且BE ＋FD =EF ．求证：.21
BAD EAF ∠=∠
7．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．
(1)如果CA=CB，求证：AE2＋BF2=EF2；
(2)如果CA＜CB，(1)中的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
旋转的综合训练
一、选择题
1．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合?
甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．
以上四位同学的回答中，错误的是( )．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )．
A．等边三角形B．菱形
C．等腰梯形D．平行四边形
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，
点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是( )．
A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的 B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的 D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的4.如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是( )
5.如上图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，
则图中的四边形ACED的面积为（）
A、24cm2
B、36cm2
C、48cm2
D、无法确定
6.下列命题中的真命题是 ( )
(A)全等的两个图形是中心对称图形. (B)关于中心对称的两个图形全等.
(C)中心对称图形都是轴对称图形. (D)轴对称图形都是中心对称图形.
7．4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示，
那么她所旋转的牌从左起是（ ）
A ．第一张、第二张
B ．第二张、第三张
C ．第三张、第四张
D ．第四张、第一张
（1） （2）
8、如右图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连结BE ，将△BCE 绕点
C 顺时针方向旋转900得到△DCF ，连结EF ，若∠BEC=600，则∠EF
D 的度数为（A 、100 B 、150 C 、200 D 、250
二、填空题
1．如下图，用等腰直角三角板画∠AOB =45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后
绕点M 按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为 °．
2．如上图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形A ′B ′C ′D ′，
则它们的公共部分的面积等于______．
3．如上图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ， B ，E 在C ，D 的同侧．若,2=AB 则BE =______．
4．如上图，已知D ，E 分别是正三角形的边BC 和CA 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 交于P ，则∠BPD =_____°．
5．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1，0)，将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得到P 1，
延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°，得点P 3，则P 3的坐标是______．
6．如下图，P 是等边△ABC 内一点，△BMC 是由△BPA 旋转所得，则∠PBM ＝_____________．
7.直线y =x +3上有一点P (m -5,2m ),则P 点关于原点的对称点P ′为
8.如下图，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转350，得到△A ＇B ＇C ，A ＇B ＇交AC 于点D ，若∠A ＇DC=900，
则∠A 的度数是__________。
9.如下图,边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG ,EF 交AD 于点H ,
那么DH 的长为_____ _.
10．如下图，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBD 的位置，若∠A=150
，
∠C=100，E ，B ，C 在同一直线上，则∠ABC=________，旋转角度是________.
三解答题
1.四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，AB=7，
求（1）指出旋转中心和旋转角度
（2）求DE的长度
（3）BE与DF的位置关系如何？
2．已知：如图，四边形ABCD中，∠D=60°，∠B=30°，AD=CD．
求证：BD2=AB2＋BC2．
3. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据，易证△AFG≌，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．
若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．
猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．。