包括n个变量中所有的基本量纲。m一般等于这些变量所涉及
的基本量纲的个数。基本变量应选取最简单，最有代表性和
容易测量的物理量，如物体的长度，流体的密度和粘度，相
2021年对1月速12度日星等期。二
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设
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在这7个量中，基本量纲数为3，因而可选择Ur三ba个n C基on本struction
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设
pn nvn2
pm mvm2
无量纲数
p Eu v 2
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欧拉数表征压Ur力ba（n C差on）struction 和惯性力之比
E u n E u m 压力相似准则，或称为欧拉相似准则
4、马赫相似准则
在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出
Fn Fm
F
λF——力的比尺
FvnFPnFGnFInFEn Fvm FPm FGm FIm FEm
动力相似是运动相似的保证
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第二节 相似准则与模型律Tianjin Institute of Urban Construction
一、相似准则
在模型实验中，只要使其中起主导作用的外力满足相似条 件，就能够保证两流动现象有基本相同的运动状态。这种 只考虑某一种外力的动力相似条件称为相似准则。
[2] LT1 2 L 2 ML3 2 ML1T2 1
[3]
LT1 3
L 3
ML3
3
L
1
[4]
LT1
L 4
4
ML3
4 L1
4)根据各个π项必须为无量纲量的条件，决定待定指数
αi、βi、γi列出具体的π项。
对每一个 写i 出量纲和谐方程组
L:1 1 31 20 1T :110
，使上述两模型律同时满足，则有
v
v
3/ L
2
这要求在模型流动中，采用特定粘度的流体，实际上
这是很不容易实现的。因此，在模型律的应用时，通常的 做法是要求对流动现象起决定或主导作用的那一个模型律 相似就可以了。
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常见流动的模型律
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L 2
或
L
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显然，对于同种、同温的流体，若要同时满U足rba雷n 诺Construction
模型律和弗诺德模型律，则容易导出
L 1
这意味着模型尺寸与原型相同。因此模型实验就失去 意义了。
即使是对于不同种的流体，若通过调整运动粘度比尺
变量，不妨取
管径d
[d]=L
平均流速 [ ]=LT-1
密度ρ
[ρ]=ML-3
3)排列 nm 个π项，如该物理现象中的m3 ，其基本变
量为x1，x2，x3，作为重复变量，则各个π项的组成为：
i x1 ix2 ix3 ix3i （i=1,2,..., ）
用未知指数写出无量纲
参数πi (i=1-4）。
1 2
向相同）
vn vm
un um
v
λv——速度比尺
时间比尺
t
tn tm
ln lm
vn vml v加速度比尺 Nhomakorabeaa
v t
v2 l
运动相似是实验的目的
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（3）动力相似（同名力作用，且对应的同名力互成同一U比r例ba）n Construction
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Fn FPnFGnFIn Fm FPm FGm FIm
由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的关 系式分别写为和惯性力相联系的下列等式
Fn FIn Fm FIm
；
FGn FGm
FIn FIm
；
FPn FPm
FIn FIm
（1）雷诺准则——粘性力是主要的力
Fn FIn Fm FIm
改成
FIn FIm Fn Fm
由雷诺数模型律，有
Ren Rem
或
Lnn Lmm
vn
vm
或写成比尺关系的形式，即
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v L
在多数情况下，模型和原型采用同种类且温度相同 的流体，此时 ，1 故有
1
L
另一方面，根据弗诺德数相等，可导出
M:1 0
2TL::2 222032 10 M:2 10
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L:3 3 33 10 L:4 4 34 10
3T :30
4 T : 40
M:3 0
M:4 0
分别解得：
故有
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(1) 已知原型煤油流量Qn 100l s，为达到动力相似，模型 中水的流量Q m 应为多少?
(2) 若在模型中测得入口和喉部断面的测管水头差 hm1.05m
，推算原型中的测管水头差 h n 应为多少?
解：此流动的主要作用力为压力和阻力，决定性相似准 则为Re数，非决定性相似准则为Eu数。
⑴ 由阻力相似的比尺关系
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F
Adulvlv
dy
F Im al2v2
vnln vmlm
n m
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雷诺数表征惯性力 与黏性力之比.
无量纲数 Re vl
Re n Re m 粘性力相似准则，也称为雷诺相似准则。
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第一节 力学相似性原理 Tianjin Institute of Urban Construction
力学相似：两个流动现象中相应点处的各物理量彼此之 间互相平行，并且互成一定的比例。
（1）几何相似（流动空间几何相似）
ln lm
dn dm
l
λl——长度比尺
n m
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设
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设
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1
1d 1 0 v
v d
1 Re
Urban Construction
2
2 d 0 1 p
p 2
Eu
3
l d
4
K d
必要时，可将各π项相互或 自相乘除，尽量使各个π项 为一般所熟悉的纯数，如雷
诺数、马赫数等
5)该物理现象可用(n-m)个无量纲π项的函数关系来表示。
密度：dim =ML-3
表面张力：dim =MT-2
压强：dim p =ML-1T-2
体积模量：dim K =ML-1T-2
速度：dimv =LT-1
动力粘度：dim =ML-1T-1
加速度：dima =LT-2
比定压热容：dimcp
L T2 -2 -1
运动粘度：dim =L2T-1
比定容热容：dimcv L2T-2 -1
An Am
ln2 lm2
2l
Vn Vm
ln3 lm3
3l
几何相似是力学相似的前提
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（2）运动相似（两流动的对应流线几何相似或流速大小成UTr同ibana一nji比nC例Ionn，sstti方rtuutcetioofn
n m
an am
式中 a为当地音速。
这个速度的比值就是马赫数M。
M v a
马M赫n数表M征m惯性
力与弹性力之比
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二、模型律
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雷诺数和弗诺德数中都包含定性长度和定性速度。因 此，若使雷诺数和弗诺德数都相等，就要求原型和模型在 长度和速度比尺之间要保持一定关系。
1 d 1 1 2d 2 2p
3
3d
l 3 3
4
4d
K 4 3
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将各量的量纲代入，写出量纲公式
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[1] LT1 1 L 1 ML3 1 L2T1 1
【例2】证明有压管流中的压强损失⊿p可表示为：
pK/d,Rel
2
d2
解：1)找出影响某物理现象的n个独立物理变量。
根据实验，知道压强损失⊿p与管长，管径d，管壁粗糙度K，
流体运动粘性系数 ，密度ρ和流速 有关，于是有
pf(l,d ,K ,,,)
2)从n个变量中选择m个基本变量。基本变量的条件为其量纲中