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第五章量纲分析和相似原理


Ρ ρ,ρ rho 电阻系数(小写)
∑ ζ,s sigma 总和(大写),表面密度;跨导(小写) Φ φ phi 磁通;角 Ψ ψ psi 角速;介质电通量(静电力线);角 Ω ω omega 欧姆(大写);角速(小写);角
补充资料
A α 阿尔法 B β 贝塔 Γ γ 伽玛 Δ δ 德尔塔 Ε ε 伊普西隆 Ζ δ 泽塔 Μ κ 米欧 Νλ纽 Ξ μ 克西 Ο ν 欧米克隆 ∏π派 Ρξ柔 ∑ ζ 西格玛 Τη陶
对于不可压缩流体运动,则选取M、L、T三个基本量纲,其 他物理量量纲均为导出量纲。 速度 dimv=LT-1; 力 dimF=MLT-2; 加速度 dima=LT-2 动力粘度 dimκ=ML-1T-1
综合以上各量纲式,可得任一物理量q的量纲dimq都可用3
个基本量纲的指数乘积形式表示。
补充资料
1
2
n
据量纲和谐原理 [L]: 有: [T]: [M]: a = a1 1 + a2 2 +……+an n b = b1 1 + b2 2 +……+bn n c = c1 1 + c2 2 +……+cn n
解出: 1 , 2 , 3 , …….. n
(4)举例:已知影响水泵输入功率的物理量有:水的
2、量纲的分类:
(1)基本量纲(独立量纲) ——不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。 长度量纲: [L] 如: 质量量纲: [M] 时间量纲: [T] 温度量纲: [Θ] (2)导出量纲(非独立量纲)
如: 速度量纲: [ L T –1] ; 流量量纲: [ L3 T –1] 。
——可由基本量纲导出的量纲。
2
1 =1
+
3
2 = -2 1 + 3 -3 = -2 1-
2
2 =1 3 =1
+ 0
故得: N = k γ Q H
[M L2T -3] = [M L-2T -2]α1 [L3T -1]α2 [L]α3
例7-1 已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力 F , 与物体的质量 m 、速度 v 和圆周半径 R 有关,试用瑞 利法推导离心力公式。
b c 1 x1a x2 x3 x4
1 1 1
b c 2 x1a x2 x3 x5 ………..
2 2 2
b c nm x1a x2 x3 xn
nm n m n m
(2)m 个相互独立量纲的物理量选择:
一般可选 3个(m=3),通常分别选几何学物 理量、运动学物量、动力学物理量各一个。此法一 般可满足量纲相互独立。
[解] 根据已知条件,离心力可以写成以下指数形式
F Kma v b R c
根据量纲和谐性,有
dim F MLT
2
K M LT L
a 1 b
c
M :1 a
L :1 b c
a 1
T : 2 b
b2 c 1
F Kmv 2 / R
b ≠ 0, c ≠ 0 时:

为运动学量纲。
3> 当 a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 时:
为动力学量纲。
4、无量纲量(纯数、无因次量): (1)定义:当量纲公式中各量纲指数均为零,即a=b=c=0时, 则dimq=1 ,这个物理量即无量纲量。 ①可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到; ②也可以由几个有量纲物理量乘积组合,使组合 量的量纲指数为零得到。 (2)特点: 1> 客观性。 2> 其大小与所选单位无关,不受运动规模的限制。 3> 除能进行简单的代数运算外,也可进行对数、 指数、三角函数等超越函数运算。
重度γ , 流量Q,扬程 H 。求水泵输入功率N
的表达式。 1> 其指数关系式: N k 1 Q 2 H 3
2> 量纲表达式: [M L2T -3] = [M L-2T -2]α1 [L3T -1]α2 [L]α3
3> 据量纲的和谐原理有:
[M]: [L]: [T]:
1=
1
+0 + 0
L:-a1-b1+3c1-1=0
由此a1=1,b1=1,c1=1。类似有:
π2= △ /(υa2Db2ρc2 )
π3=g/(υa3Db3ρc3)
a3=2, b3=-1, c3=0
可得: a2=0, b2=1, c2=0 (4)整理方程式:

解得:
常用沿程损失公式形式为:
——称沿程阻力系数,具体由实验决定。
根据, 都可用于一定条件下流动现象的描述,这些 公式孰是孰非,无所适从。量纲分析方法可以从量 纲理论作出判别和权衡,使其中的一些公式从纯经 验的范围内解脱出来。
(3)应用量纲分析方法得到的物理方程式,是否符合客观
规律和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析方 法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启 示,可能由于遗漏某一个决定性的物理量,造成方程 中出现累赘的量纲量。这种局限性是方法本身决定的。 弥补它,需要已有的理论分析方法和实验成果,要依 靠研究者的经验和对流动现象的观察认识能力。
连续性方程 伯努利方程 动量方程
v1 A1 v2 A2
2 p1 1v12 p2 2 v2 z1 z2 hw g 2g g 2g
F Q( v
2 2
1v1 )
1、定义 —— 凡正确反映客观规律的物理方程,其各项的量纲 必须是一致的,即只有方程两边量纲相同,方程才能
例3:液体在水平等直径的管内流动,设两点压强差△p与下列变量有关: 管径d,ρ ,υ ,l,μ ,管壁粗糙度△,试求△p的表达式。 解:(1)找出有关物理量 F(d,ρ,υ,l,μ,△,△p)=0
(2)选基本量,组成π 项。基本量d,ρ ,υ , n=7, m=3, π 数n-m=4个
(3)决定各π项基本量指数 对π1:
2、π定理(布金汉定理)
——是改进了的量纲分析法,可用于物理量相对
较多的情况。
(1)基本原理: 设某一物理过程包含 n个物理量: f (x1,x2,……,xn) =0,
其中有 m 个为基本量(量纲独立,不能相互导出的物理 量),则该物理过程可由n个物理量构成的 (n- m)个 无量纲 项来描述。
即: F(π1,π1,……,πn-m)= 0
表征几何特性: 管径

(3)确定无量纲量π的方法: 1> 从 n 个物理量中选出 m 个相互独立的基本量;
2> 由 m 个基本量纲冪的乘积作为分母,未列入基
本量纲的其它各物理量分别作为分子,设分子 分母量纲相同,即可求得无量纲量π。
如 m=3,
π1 = x4 /(x1α1 x2β1 x3γ1) π2 = x5 /(x1α2 x2β2 x3γ2 )
对π 2:
同理得 :
(4)整理方程式 设
l f 4 (Re, )

l v2 h d 2g
关于量纲分析方法的几点讨论:
(1)量纲分析法的理论基础是量纲和谐原理。
(2)量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。19 世纪,量纲分析原理未发现之前,水力学中积累了
不少纯经验公式,每一个经验公式都有一定的实验
用L0M0T0表示,实际是一个数,但与单纯的数不 一样,它是几个物理量组合而成的综合物理量,如 相似准则数:
LT L dim Re 2 1 1 LT
1
L dim J 1 L
二、量纲和谐原理
量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中,各 项的量纲必须是一致的,它是被无数事实所证明的一个客观 原理。
x1 , x2 , x3 必须相互独立
dim x1 La1T b1 M c1
dim x2 La2 T b2 M c2
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 0 c3
dim x3 L T M
a3 b3
c3
表征流体物性:密度 、粘度 等
d 、管长 l 等 表征运动特性:速度 v 、重力加速度g
成立。量纲和谐原理是量纲分析的基础。
2、量纲的主要特性: (1)量纲与物理量的特性有关,与物理量的大小无关; (2)一个物理量只有一个量纲,不同的量纲不可相加减; (3)一个正确的物理方程其量纲必须和谐一致。
3、量纲分析的具体应用:
(1)量纲分析法 ——即应用量纲的和谐原理,来推求各物理量 之间的函数关系的方法。 (2)应用: 1> 检查所建立的物理方程是否正确; 2> 可用于同一量纲的单位换算; 3> 确定各物理量之间的合理形式; 4> 设计系统实验及分析实验结果。
y, x1 , x2 , x3 …… ,xn
可用函数式: y = f (x1 , x2 , x3 …… ,xn ) 表示。
写成指数形式:
y k x1 x 2 x n
1
2
n
量纲表示式:
dim y dim( x1 x2 x n )
LaT b M c [ La1T b1 M c1 ]1 [ La2 T b2 M c2 ] 2 [ Lan T bn M cn ] n
则有:
……
πn-3 = xn /(x1α(n-3) x2β(n-3) x3γ(n-3)) 3> 按量纲和谐原理求得各指数,即可得出π的具体表达式。
4> 举例:
例2:管中紊流,单位管长沿程水头损失hf/L,取决于下列因素:流速 υ ,管径D,重力g,粘度μ,管壁粗糙度△和密度ρ,试用π定理分 析确定方程的一般形式。
Η ε 伊塔
Θ ζ 西塔 Θ η 约塔
Υ υ 玉普西隆
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