全国初中数学竞赛试
题及答案
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1997年全国初中数学联赛试题
第一试
一.选择题
本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内.
1.下述四个命题
(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1;
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;
(3)2a 的平方根是a ±;
(4)大于直角的角一定是钝角.
(A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个.
答( )
2.已知354
234
-<<+x ,那么满足上述不等式的整数x 的个数是
答( )
(A)4; (B)5; (C)6; (D)7.
答( )
3.若实数c b a ,,满足9222=++c b a ,代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是
(A)27 (B)18; (C)15; (D)12.
答( )
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4.给定平面上n 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是
(A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( )
5.在梯形ABCD 中,DC AD =,030=∠B ,060=∠C ,E,M,F,N 分别为
AB,BC,CD,DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF 之值为
(A)4 (B)2
14 (C)5; (D)6. 答( )
6.如图,已知B A ∠=∠,1AA ,1PP ,1BB 均垂直于
11B A ,171=AA ,161=PP ,201=BB ,1211=B A ,则AP+PB 等于
（A ）12； （B ）13； （C ）14； （D ）15. 答( )
二、填空题
1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 .
2.当a 取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数是 .
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 3.若a ,b 满足753=+b a ,则b S 322-=的取值范围是 .
4.若正整数x , y 满足199722=+y x ,则y x +等于___________.
第二试
一.设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点, PE 垂直AC 于点F , PF 垂直BC 于点F , PG 垂直EF 于点G , 延
长GP 并在其延长线上取一点D , 使得PD=PC ,试
证:BD BC ⊥,且
BC=BD .
二.已知b a ,为整数,且b a >,方程
04)(332=+++ab x b a x 的两个根βα,满足关系式
)1)(1()1()1(++=+++βαββαα
试求所有的整数点对(b a ,).
三.已知定理:“若三个大于3的质数,c b a ,,满足关系式c b a =+52,则c b a ++是整数n 的倍数”.试问:上述定理中的整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.。