2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：40～20：40）满分：120分一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．已知M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）A. MB. NC. PD.P M 2.函数()142-+=xx x x f 是（ ）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数3.已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A . 0≤m ≤4B . 1≤m ≤4C . m ≥4或x ≤0D . m ≥1或m ≤04.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0ab >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 56．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B CBAC Acos tan sin cos tan sin ++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于 。

个个9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。

10.正方体的六个面所在平面把空间分成 部分11．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角的大小是 .12.已知1009921)(,*-+-+⋅⋅⋅+-+-=∈x x x x x f N x 的最小值等于13.设{}2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x =14.已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；；②⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；. ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b其中正确的命题是 (将正确命题的序号都填上)．15、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则12111...na a a ++= 16.在平面直角坐标系内，有四个定点(30),A -，(11),B -，(03),C ，(13),D -及一个动点P ，则||||||||PA PB PC PD +++的最小值为 ．三、解答题（本大题共3小题，每题的解答均要求有推理过程，17小题13分,18小题13分,19题14分，满分40分）17．（本题满分16分）已知向量)23sin ,23(cos x x =，)21sin ,21(cos x x -=，且]2,0[π∈x . （1）求⋅及||b a +；（2）求函数=)(x f ⋅-||b a +的最小值。

18已知数列{}n a 中各项为：12、1122、111222、 (111)⋅⋅⋅⋅⋅⋅222n⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 、 ……（Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （Ⅱ）求这个数列前n 项之和S n .19．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2014f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，求(2014)f 的值． 答案 1．已知M=},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ B ）A. MB. NC. PD. P M2.函数()142-+=x x x x f 是（ A ）A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数3已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是 CA . 0≤m ≤4B . 1≤m ≤4C . m ≥4或x ≤0D . m ≥1或m ≤04在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是 A. 1 B. 2 C. 3 C. 2 解：由0sin cos 2sin cos =+-+B B A A 得，0)4sin(22)4sin(2=+-+ππB A 即1)4sin()4sin(=++ππB A ，由正弦函数的有界性及B A ,为三角形的内角可知，1)4sin(=+πA 且1)4sin(=+πB ，从而4π==B A ，∴2π=C∴2sin sin =+=+B A cba 5. 设 0ab >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是答: [ C ]A. 2B. 3C. 4D. 5解：由 0a b >>, 可知22210()()424a ab a b b a <-=--≤,所以， 222144()a a b a b a+≥+≥-. 故选 C ．6设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ C ）A. (0,)+∞B.C. 11(,)22D. 1(,)2+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而C B C B C A C A B CBAC Asin cos cos sin sin cos cos sin cos tan sin cos tan sin ++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得11,2211.22q q q ⎧-<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或q <<，因此所求的取值范围是11()22． 7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为: 6 8．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于21e+。

解：)|4sin(|2|cos sin |2sin 2sin )(π+++=+=x x x e x ex x f ，从而当4π=x 时取最大值21e+当4π-=x 时取最小值0，从而最大值与最小值之差等于21e+9、设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。

9、解：,,(1)()()()2,x y R f xy f x f y f y x ∀∈+=--+对有(1)()()()2f xy f y f x f x y ∴+=--+有∴()()()2f x f y f y x --+=()()()2f y f x f x y --+即()(),0,()1f x y f y x y f x x +=+==+令得 10正方体的六个面所在平面把空间分成 27 部分11．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角的大小是 ▲23π. 12．已知1009921)(,*-+-+⋅⋅⋅+-+-=∈x x x x x f N x 的最小值等于------2500-----）13、设{}2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x = 解析.作图比较容易得到 max ()2f x =。

14．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；；②⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；. ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上)．解析 ②中a 、b 的位置可能相交、平行、异面；③中α、β的位置可能相交．答案 ①③④⑤15、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则12111...na a a ++= _____ 、解：设1111,0,1,2,...,(3)(6)18,n n n nb n a b b +==-+=则即1111113610.2,2()333n n n n n n b b b b b b +++--=∴=++=+ 故数列1{}3n b +是公比为2的等比数列，11001111112()2()2(21)33333n n n n n n b b b a +++=+=+=⨯∴=-。

()112001112(21)1(21)(1)2333213n nn ni n i i o i i i b n n a +++===⎡⎤-==-=-+=--⎢⎥-⎣⎦∑∑∑。

16在平面直角坐标系内，有四个定点(30),A -，(11),B -，(03),C ，(13),D -及一个动点P ，则||||||||PA PB PC PD +++的最小值为__________． 【解答】+． 如图，设AC 与BD 交于F 点，则 ||||||||||PA PC AC FA FC +=+≥，||||||||||PB PD BD FB FD +=+≥．因此，当动点P 与F 点重合时，||||||||PA PB PC PD +++取到最小值||||AC BD +=17．（本题满分16分）已知向量)23sin,23(cos x x =，)21sin ,21(cos x x -=，且]2,0[π∈x .（1）求⋅及||b a +；（2）求函数=)(x f ⋅-||+的最小值。