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中考典例精析
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C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等
的实数根和有两个相等的实数根三种 【点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法．
【解答】(1)C 把(x－1)(x＋2)＝1 整理得 x2＋x－3＝0，是一元二
次方程．
(2)B
由一元二次方程根与系数的关系知
x1x2＝
c a＝
3.
(3)B ∵Δ ＝(2k)2－4(k－1)＝4k2－4k＋4＝4(k－12)2＋3
∴无论 k 取何值，均有 Δ ≥3，方程都有两个不相等的实数根．
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中考典例精析
(2011·南京)解方程x2－4x＋1＝0.
【点拨】本题考查一元二次方程的解法． 【解答】解法一：移项，得 x2－)2＝3.
(2)(2011·武汉 )若 x1，x2 是一元二次方程 x2＋4x＋3＝0 的两个根，
则 x1x2 的值是 ( )
A．4
B．3
C．－ 4
D．－ 3
(3)(2011·潍坊 )关于 x 的方程 x2＋2kx＋k－1＝0 的根的情况描述正
确的是 ( )
A．k 为任何实数，方程都没有实数根
B．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
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（2011·桂林）某市为争创全国文明卫生城， 2008年市政府对 市区绿化工程投入的资金是 2 000万元，2010年投入的资金是2 420万元， 且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．
(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；
考点二 一元二次方程的常用解法
1. 直接开平方法 :如果 x2=a(a≥0) ,则 x= ± a，则 x1= a,x2=－ a.
2 ．配方法：如果
x2＋ px＋ q＝ 0
且
p2－ 4q≥0，则
??x
?
＋
p
2
??2＝－
?
q＋ ???p2???2.
p x1＝－ 2＋
－
q＋
???p2 ???2 ，
x2＝－
p
2－
－
q＋
?p
??2
??2 ?
.
3 ．公式法：如果方程
ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 且 b2 － 4ac≥0 ，则 x ＝
－ b± b2－ 4ac
2a
.
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考点知识精讲
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4．因式分解法：若 ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，则 ax2＋bx＋c＝0
f
n
的根为 x1＝－e，x2＝－m.
由此可得 x－2＝± 3.
x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3. 解法二： a＝1，b＝－4，c＝1. b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝ 12＞0.
x＝4±2
12 ＝2±
3，
x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3.
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方法总结： 解一元二次方程有以下几种方法： (1)直接开平方法；(2)配方法； (3)公式法；(4)因式分解法. 解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解 . 一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式 ，应采用直接开平方法；若能因式分解就用因式分解法；当两种方法都行 不通时，可采用公式法或配方法 .
骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．
温馨提示：
在应用根与系数的关系时，一定要保证一元二次方程有实数根 .
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(1)(2011·兰州 )下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 ( )
A
．
x2＋
1
x2＝
0
B． ax2＋bx＋ c＝ 0
C ．(x－1)(x＋2)＝1 D ．3x2－2xy－5y2＝0
1．若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为 x1、
x2，则
x1＋
x2＝－
ba，x1·x2＝
c a.
2．(简易形式 )若关于 x 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0 有两个根分别
为 x1、x2，则 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
考点五 列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程 (组)解应用题步
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(2010·成都)若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个实 数根，求k的取值范围及k的非负整数值．
【点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式，当 b2－4ac≥0时，方
程有两个实数根．
【解答】∵方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根， ∴b2－4ac＝42－4×1×2k≥0. 即16－8k≥0，解得k≤2. ∴k的非负整数值为k＝2,1,0.
目录
第7讲 一元二次方程
考点知识精讲 中考典例精析
举一反三
考点训练
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考点一 一元二次方程的定义
在整式方程中，只含有___一__个未知数，并且含未知数项的最高次数 是__2__，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是
___a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0_(_a_≠_0_)___.
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数根，即 x1＝x2＝－2ba；
(3)b2－4ac＜0? 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
温馨提示：
只有一元二次方程，才具有根的判别式 .因此在逆用判别式时，一定
要保证二次项系数不等于零 .
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考点四 一元二次方程根与系数之间的关系
考点三一元二次方程根的判别式
关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b2－
4ac，一般用符号 Δ 表示．
(1)b2－4ac＞0? 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的
实数根，则
x1,2＝－b±
b2－4ac
2a
；
(2)b2－4ac＝0? 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实
(2)若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在 2012年需投入多少 万元？
【点拨】求年平均增长率问题：一般列方程 a(1±x)n＝b.其中a为原 始数据，b为增长(减少)后数据，n为变化周期，x为增长(降低)率．
【解答】(1)设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为 x，根 据题意得，2 000(1＋x)2＝2 420，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．