这三种结构叫做母结构，由此可以导出各种子结构， 还可有各种交叉，形成分支结构，如拓扑群是群结构 上再定义拓扑结构的一门学科．希尔伯特空间是线性 空间添加内积型拓扑(拓扑结构)构成的数学系统．巴拿 赫空间即完备、赋范、线性空间，也是一种交叉而形 成的分支结构．
Bruhat（布里阿）、Dixmier（荻思米埃）、 Godement（古德曼）、Samuel（萨姆埃尔）、 Schwartz （施瓦尔兹）诸家族 ，
Demazure （ 德 马 祖 尔 ） 、 Douady （ 杜 阿 第）、Giraud（吉劳）、Verdier（费荻耶）诸家 族，
还有其他家族以及Abéle 和Idéle小姐：
不奉献鲜花、花环及花束。 “因为上帝就是Aleksandrov（亚历山大洛夫） 的万有紧化”（Grothendieck[格罗登迪克]福音 书第四章22页）。
3、结构主义方法 结构主义不仅是一种思想，而且是一种分析方法。
例、数直线结构分析
在一个集合的元素间引进运算或变换，就形成了结构．
布巴基学派将数学结构分为三大类： (1)代数结构：由离散性对象加运算构成的结构系 统．如群、环、域、代数系统、范畴、线性空间等． (2)序结构．如半序集、全序集、良序集等． (3)拓扑结构．如拓扑空间、紧致集、列紧空间、连 通集、连续性及完备性空间等．
布巴基学派是本世纪三十年代以后开始形成的一个数 学学派．布巴基(Bourbaki)并无其人，它是这一学派 的人物著书立说时共同采用的一个笔名．从1939年起， 他们出版了一套巨著《数学原本》，到1973年共出36 卷，至今仍未完成．
《数学原本》是一部博大精深的著作．它涉及现代数 学的各个领域，概括某些最新研究成果，以其严谨而 别具一格的方式将数学按结构重新组织，形成了自己 的新体系．其内容包括集合论、代数、一般拓扑、实 变函数论、线性拓扑空间、黎曼几何、微分拓扑、调 和分析、微分流形、李群等分支．
ISO9000系列实质上是管理过程的标准。
例 选举模型 多数选举法、累计选举法等等，是特种社会活动 的模型。
经济学模型： 市场模型、竞争模型、企业战略模型、股票模型、 金融模型，等等。
这些模型共同特点是，其表达易于理解，抽象度低。
2）工程技术模型 建筑模型 ，交通模型，电路模型，服装模型 等等。 表达：建筑设计图、交通网络、电路图、服装模版等。 3）生命科学模型 新陈代谢模型、光合作用模型、血液循环模型、 DNA双螺旋模型 、蛋白质结构模型等等。 4）化学模型 苯环 、化学健理论、反应平衡等等； 5）物理模型 基本粒子、原子模型、晶体模型 、光学的衍射等等。
模型是用某种工具对同类或其他工具的表达
方式。模型从某一个建模观点出发，抓住事物最 重要的方面而简化或忽略其他方面。
工程、建筑和其他许多需要具有创造性的领 域中都使用模型。
表达模型的工具要求便于使用。建筑模型可 以是图纸上所绘的建筑图，也可以是用厚纸板制 作的三维模型，还可以用存于计算机中的有限元 方程来表示。一个建筑物的结构模型不仅能够展 示这个建筑物的外观，还可以用它来进行工程设 计和成本核算。
文本按知识类型分类，形成不同层次的子集族—— 国际图书分类法——图书馆的藏书结构——专业模型。
4、模型抽象度 1）、科学的依赖序关系与抽象度
数学 物理 化学 生物 社会科学
抽象度降低 这种单调的依赖关系由科学领域的物质组成决定
2）、科学序与世界的形成 科学的依存关系：
社会科学——由生命体组成
生命科学——生命由细胞、蛋白质组成
这是何等艰巨的任务！后来实际上写了三十年也没有完 成．
布巴基的一些主要成员，大多在现代数学中都有重大
贡献．如狄多涅可以说是一个著作家，是布巴基的主笔， 写了大量论文和专著；韦伊可以说是本世纪中叶以后最重 要的数学家之一，他在代数数论和代数几何上的工作是极 为深刻的，由于他在法国的南希(Nancy)和美国的芝加哥 (Chicago)工作，曾戏称布巴基在南加哥(Nancago)大学任 职，是布巴基的一员主将；爱伦伯格是布巴基小组中唯一 的外籍人，他是同调代数的制定者；H·嘉当也是一位大数 学家，以多复变函数和同调代数研究驰名；歇瓦莱建立了 李(Lie)理论和有限群之间的桥梁；广义函数的奠基人施瓦 兹(Schwa-rz)和现代代数几何家格罗申第克(Grothendiek)两 个人都获菲尔兹奖并参加过布巴基小组，把大家带入了两 个深入的部门．后期的成员很多，如塞尔(Jean-Pierre Serre) 是《数学原本》代数部分的主要撰稿人，他也是菲尔兹奖 获得者．布巴基学派确实吸引了最有能力的数学家，是二 十世纪最有影响的学派之一．
数学建模 ≠
数学荐模+数学引模——一种初步实 用的，拼凑性的模型类比方法，非 普适的、非创造性的和非本质的。
数学建模 = 创造的本质性方法 + 模型类比方法
结构化数学建模方法： 一种创造的本质性方法 源问题
E.A.Bender定义： 数学模型是关于以部分现实世界（原型）为 一定目标而作的抽象、简化的数学结构。
狄多涅指出，布巴基的基本指导思想是结构主 义． 他们用公理化的观点对整个数学加以整理，发 现数学分支之间的区别在于结构不同．
他们认为数学上有三种结构，即代数结构、序结 构和拓扑结构．
30余卷的《数学原本》贯穿了这一思想．作者们 把一些理论的基本概念仔细加以剖析，拆成零件(各种 结构)，然后整理归纳，把某个理论放在整个结构的适 当位置上．他们不崇尚技巧，象数论中的高超技巧、 函数论中的精密估计、概率论中的详细计算，都不能 纳入布巴基体系．
化学科学——分子、大分子、原子团簇 物理科学——基于论成立，则任何合理的宇宙模型都起 始于一个奇点（数学点！）——目前最好的宇宙论！
3）、模型的抽象度依科学序关系递减
扩展的科学与技术的抽象递减顺序： 数学——物理——化学——生物——工程技术 ——社会科学
一批青年聚在一起议论法国数学发展中青年人
的责任，其中以狄多涅、韦伊两人为首，吸引了德 尔萨特(J．Delsarte)、厄莱斯曼(C．Ehresman)、歇瓦 莱等三人，后来又有H·嘉当和爱伦伯格 (S·Eilenberg)(唯一的外国人——波兰人)参加．他们 曾分析形势，首先法国是当时函数论王国，上面列 举的大学问家都是搞函数论的．除了阿达玛的讨论 班有一扇通往国外的窗口之外，国外的数学发展情 况很不清楚．至于E·嘉当(Elie Cartan，1869—1951) 的工作虽然开始了李群与微分几何理论的研究，但 要到20年以后才被发现其重要性，当时并未注意 到．
结构化数学建模方法
目录 一、引子：建模与引模
二、模型的概念 三、数学与普适性 四、皮亚杰的结构主义 五、结构化数学建模方法 六、结构化建模例子 七、结构法的研究性课题
一、引子：建模与引模
建模学生：数学建模 = 数学引模
实际或竞赛 的建模问题
引用案例 借鉴案例
课程学习与培训中的 数学建模案例
类比、引用和借鉴是很有效的方法，是现状！但是：
布巴基学派的主要成员有狄多涅(Jean Dieudonne，1906—)、韦伊(Andre′Weil，1906—)、 歇瓦莱(Claude Chevalley，1909—)、H·嘉当(Henri Cartan，1904—)等．
布巴基的事业是一批法国青年开始做起来的。1924 年，一批18岁的青年来到法国巴黎高等师范学校(法国 最高学府)求学．巴黎的老一辈大学问家象毕卡(Picard， 1856—1941)、蒙代尔(Montel，1876—1975)、波莱尔 (Borel，1871—1956)阿达玛(Hadamard，1865—1963)、 当儒瓦 (Denjoy，1884—1974)、勒贝格(Lebesgue， 1875—1941)、当时已是50岁上下的人了，他们和这批 18岁的青年整整隔了一代．尽管他们手把手地给他们 讲授一年级课程，但这批年轻人并不满足．
韦伊首先走到国外，得知德国当时有阿廷(Emil Artin，1896—1962)、诺特(Emmy Noether，1882—1935)、 西格尔(Carl Ludwig Siegel)、海塞(Hermut Hasse)这些人 在代数方面崭新的工作；匈牙利的黎兹(Frede’ric Riesz， 1880—1956)、波兰的巴拿赫(Stefan Banach，1892—1945) 已开创了泛函分析；俄国学派已在向拓扑学进攻．这些 年轻人再也坐不住了，他们决心打破这一“函数论王国”
三、数学与普适性
数学的普适性一直被数学家与哲学家研究，笛 卡儿、开普勒、牛顿、莱布尼茨等：大自然中隐藏 着一种固有的和谐，反射到我们的心智中就呈现简 单数学定理的形式。 1、数学是什么？ 这是一个困难的问题，并没有唯一的答案。
结构主义学派（ Bourbaki ）： 数学 = 集合 + 结构
2、布巴基学派
的束缚，继承从费马到庞卡莱博学多采的数学传统，把 数学来一个改造，于是出现了“布巴基运动”．特别是 在1932年范·德·瓦尔登(Van derWaerden)的《近世代数》 出版，给这些年轻人以启发，他们欣喜若狂，决心象 范·德·瓦尔登整理代数学那样，将数学重新整理一 遍．1934年他们在一次集会上决定，用三年时间将整个 数学整理成一套专书．然而，随着知识的增长他们发现
用专业理论抽象出的结构，并用专业语言表示的模型
2、模型是什么？模型与结构
原型
抽象出结构
模型
模型：以特定目的对事物原型抽象出结构并适当表示。
抽象出结构：不是一般概念的抽象，而是结 构的抽象；
特定目的：目的不同，关注的结构（事物的内部 联系）不同；
适当的表示：使用不同知识与方法，需要不同 的语言表示。
例. 飞机模型
目的：空气动力学研究 抽象结构：外型结构，除去内部构造； 目的：机舱设计 抽象结构：内部空间结构，除去外部结构；
不同目的关注的内容不同，抽象的结构不同。 表示：专业图形和航空语言表示。